Poteaux en béton armé – Comportement vis à vis des efforts normaux

La figure 5-7 (extraite du règlement) propose les élancements définis dans l'EC2, et fournit les longueurs de flambement en fonction des liaisons adoptées aux extrémités du poteaux. Ces schémas ne sont valables que pour des éléments isolés (fréquents dans les ouvrages d'art).

Pour les bâtiments et certains ouvrages d'art, les liaisons d'extrémités ne peuvent pas être schématisées si simplement. Nous distinguerons donc deux cas :

• Les éléments isolés.
• Les poteaux inclus dans des systèmes type portique.

Pour ces deux cas, il faut d'abord vérifier si l'élancement du poteau dans son contexte, n'engendrera pas d'effet du second ordre (moment fléchissant supplémentaire lié au déplacement de la fibre neutre par rapport à l'axe de transmission des efforts normaux). Le flambage doit rester très faible pour qu'il soit négligeable.

Éléments isolés

Lorsque l'élancement ne dépasse pas la valeur définie par les expressions ci-dessous, les effets du second ordre peuvent être négligés $\rm (5.13~N) \lambda_{limite} = 20 \dfrac{ABC}{n}$ avec :

$\rm A = \dfrac{1}{(1+0,2\varphi_{ef})}$ si $\varphi_{ef}$ n'est pas connu, prendre $\rm A = 0,7$, $\rm B = \sqrt{1+2\omega}$ si $\omega$ n'est pas connu, prendre $\rm B = 1,1$ et $\rm C=1,7−r_m$ si $r_m$ n'est pas connu, prendre $\rm C = 0,7$.

$\varphi_{ef} =$ coefficient de fluage effectif, calculé lorsque l’on évalue le coefficient d’équivalence « $n$ ».

$\omega = \dfrac{\mathrm A_s f_{yd}}{\mathrm A_c f_{cd}}$ ratio mécanique d'armatures. $\rm A_s$ est l'aire totale de la section des armatures longitudinales parallèles à l’axe du poteau.

$n = \dfrac{\mathrm N_{ed}}{\mathrm A_c f_{cd}}$ effort normal relatif et $r_m = \dfrac{\mathrm M_{01}}{\mathrm M_{02}}$ rapport des moments.

$\mathrm M_{01}$ et $\mathrm M_{02}$ sont les moment d'extrémité du $\rm 1^{er}$ ordre, avec $\rm | M_{02} | \geq |M_{01}|$.

Dans le cas d'une flexion déviée, il convient de vérifier séparément dans chaque direction. Exemple d’application. Poteau de portique de section $b\times h$.

$\rm R_H = 80\% = 0,8$

Dimensions $\color{cornflowerblue}{b} = 30~ \rm cm$ et $\color{cornflowerblue}{h} = 30~\rm cm$, section $\rm \color{cornflowerblue}{A_c} = 900~cm^2$.
Hauteur réelle du poteau : 4,50 m
Poutre de section verticale $\rm 40 \times 30~cm = 1~200~cm^2$, longueur $\rm 6,00~m$.
Longrine de fondation en pied de poteau, section $\rm 60 \times 60~ cm= 3~600~ cm^2$, longueur $\rm 6,00~m$.
Armatures verticales du poteau : $\rm 4~ HA~ 25$ $\rm (A_s = 19,63~cm^2)$ placés dans les angles à $\rm 5~cm$ de chaque parement Un cadre $\rm HA ~6$ tous les $\rm 30~cm$.
$\color{cornflowerblue}{f_{yk}} = 500~\rm Mpa$ et $\rm \color{cornflowerblue}{E_s} = 200~Gpa = 200~000~ MPa$.
$\color{cornflowerblue}{f_{ck}} = 30~\rm MPa$, Classe normale $\rm (N)$.
$\rm \color{cornflowerblue}{E_{cm}} = 33~Gpa = 33~000~ Mpa$ (EC2, tableau 3.1)
Chargement du béton à $50$ jours de durcissement.
$\rm\color{cornflowerblue}{N_{Ed}} = 2,00~ MN = 2~000~ kN$
$\rm \color{cornflowerblue}{N_{Eqp}} = 2,50~ MN = 2~500~ kN$
$\rm \color{cornflowerblue}{M_{01}} = 0,020~ MN.m = 2~000~ m.daN$ (en-tête)
$\rm \color{cornflowerblue}{M_{02}} = 0,022~ Mn.m = 2~200~ m.daN$ (en-pied)
$\rm \color{cornflowerblue}{M_{Eqp}} = 0,011~ Mn.m = 1~100~ m.daN$ (en-pied)

Calculs préliminaires :

Ratio d'aciers longitudinaux : $\rm \rho = \dfrac{A_s}{A_c} = 0,0218=2,18\%$

$\varphi_{ef} =$ coefficient de fluage effectif (voir méthode avec « $n$ ») dépend de $\varphi_{(t = \infty, t_0)} = 1,628$

Il convient de calculer la longueur de flambement du poteau :

$k_1$ et $k_2$ sont les souplesses relatives aux encastrements partiels aux extrémités (en-tête et en-pied).

$k_i = \dfrac{\Theta}{\rm M} \times \dfrac{\rm EI}{l}$

Le nœud de liaison au niveau de la longrine de fondation ne peut pas se déplacer, mais le nœud supérieur peut se déplacer; on considère donc que l'on est dans le cas d'un système non contreventé en tête de poteau.

La longueur $l$ de la formule ci-dessous est celle de la longrine de fondation.

La relation issue des lois de la RDM donne pour la liaison liée à la fondation :

$\rm M = 4 \dfrac{EI}{\mathcal l}\Theta \Rightarrow$ $\rm\Theta = M\dfrac{\mathcal l}{4EI}$ $= 0,022 \times \dfrac{6,00}{4\times 33 \times \frac{0,6 \times 0,6^3}{12}}$ $= 0,093$

La longueur $l$ de la formule ci-dessous est celle du poteau.

$k_1 = \Theta \mathrm M \times \dfrac{\rm EI}{l}$ $= \dfrac{0,093}{0,022} \times \dfrac{33 \times \frac{0,3 \times 0,3^3}{12}}{4,50}$ $= 0,07$ souplesse liée à la fondation.

Même raisonnement pour la liaison liée à la poutre :

$\rm M = 4 \dfrac{EI}{\cal l}\Theta$ $\Rightarrow$ $\rm \Theta = M \dfrac{\cal l}{4EI}$ $= 0,02 \times \dfrac{6,00}{4\times 33 \times \frac{0,3\times 0,4^3}{12}}$ $=0,57$

$k_2 = \rm\Theta M \times \dfrac{EI}{\cal l}$ $= \dfrac{0,57}{0,02} \times \dfrac{33\times \frac{0,3 \times 0,3^3}{12}}{4,50}$ $= 0,14$ souplesse liée à la poutre.

$l_0 = l \times \mathrm{max} \left[\sqrt{1 + 10 \dfrac{k_1k_2}{k_1 + k_2}}\right.$ $;$ $\left.\left(1 + \dfrac{k_1}{1+k_1}\right) \times \left(1 + \dfrac{k_2}{1+k_2}\right)\right]$

$l_0 = 4,5 \times \mathrm{max} \left[\sqrt{1 + 10 \dfrac{0,1\times 0,14}{0,1 + 0,14}}\right.$ $;$ $\left.\left(1 + \dfrac{0,1}{1+0,1}\right) \times \left(1 + \dfrac{0,14}{1+0,14}\right)\right]$

$l_0 = 4,5 \times \mathrm{max} \left[\sqrt{1 + 10 \dfrac{0,014}{0,24}}\right.$ $;$ $\left.\left(1 + \dfrac{0,1}{1,1}\right) \times \left(\dfrac{0,14}{1,14}\right)\right]$ $\rm =4,5\times max [1,29~ ;0,14] = 5,81~m$

Le coefficient de fluage effectif se calcule en tenant compte des effets du moment de premier ordre, lié aux imperfections géométriques, dans un cas de chargement quasi-permanent. Le $§5-2$ de l’EC2 nous donne :

$\theta_i = \theta_0 \cdot \alpha_h \cdot \alpha_m$ ou $\theta_0$ est la valeur de base de la rotation (valeur recommandée $1/200$).

$\dfrac{2}{3}\leq \alpha_h = \dfrac{2}{\sqrt{l}}$ avec $\alpha_h = \dfrac{2}{\sqrt{4,5}} = 0,943$

$\alpha_m = \sqrt{0,5\left(1+ \dfrac{1}{m}\right)} = 1$ avec $\color{cornflowerblue}{m} =$ nombre d'éléments.

Élément isolé $\rightarrow \color{cornflowerblue}{m = 1}$

$\theta_i = \theta_0\alpha_h \alpha_m$ $=\dfrac{1}{200}\times 0,943 \times 1$ $=0,0047$

Déformation à mi-hauteur : $\rm e_i = \theta_i \dfrac{\mathcal l_0}{2}= \dfrac{0,0047\times 5,81}{2}=0,014~m$

Coefficient de fluage effectif : seule la partie charge quasi-permanente va influer sur le fluage.

Moment crée par la déformation du $\rm 1^{er}$ ordre :  $\rm M_{0Ed} = N_{Ed}$ $\rm e_i = 2,00 \times 0,014 = 0,028~MN.m$

Moment crée par les actions quasi-permanentes : $\rm M_{0Eqp} = M_{Eqp} + N_{Eqp} e_i$ $= 0,011 + 2,5\times 0,014$ $\rm = 0,046~MN.m$

Fluage effectif : $\varphi_{ef} = \varphi_{(\infty,t_0)} \times \dfrac{\rm M_{0Eqp}}{M_{0 Ed}} = 1,628 \times \dfrac{0,046}{0,028} = 2,675$ d'où $\rm\rightarrow A = \dfrac{1}{(1 + 0,2 \varphi_{ef})}$ $= \dfrac{1}{1
1 + 0,2 \times 2,675}$ $= 0,652$

$f_{yd} =$ Limite de calcul d'élasticité de l'acier $f_{yd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{500}{1,15} = 434,7$ et $f_{cd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{30}{1,5} = 20~\rm MPa$

Ratio mécanique d'acier : $\omega = \dfrac{\mathrm A_s f_{yd}}{\mathrm A_cf_{cd}}$ d’où $\omega = \dfrac{19,63\times 434,7}{900\times 20} = 0,474$

$\rm B = \sqrt{1+2\omega} = \sqrt{1 + 2\times 0,474} = 1,396$

$\mathrm C = 1,7 − r_m$ avec $r_m = \dfrac{M_{01}}{\rm M_{02}} = \dfrac{2~000}{2~200} = 0,909$ ce qui donne $\rm C=1,7−0,909=0,791$

Effort normal relatif : $n = \dfrac{\rm N_{ed}}{A_c f_{cd}} = \dfrac{2,00}{0,09\times 20} = 1,11$

Élancement limite : $\rm\lambda_{limite} = 20 \dfrac{ABC}{\sqrt n}$ $= 20\dfrac{0,652 \times 1,396 \times 0,791}{\sqrt{1,11}}$ $= 13,667$

Il faut maintenant vérifier si l'élancement réel est inférieur à l'élancement limite.

Rayon de giration de la section de béton comprimée : $i = \rm\sqrt{\dfrac{I_{béton}}{B_{béton}}} = \sqrt{\dfrac{\frac{eh^3}{12}}{eh}} = \sqrt{\dfrac{h^2}{12}}$ $\rm = \dfrac{h}{2\sqrt 3} = 8,66~cm$

Élancement du béton entièrement comprimé : $\lambda = \dfrac{l_0}{i} = \dfrac{581}{8,66} = 67,09 > \rm \lambda_{limite} = 13,667$

$\rightarrow$ Les effets du second ordre ne peuvent pas être négligées.
Peut-on négliger les effets du fluage ? Pour cela, il faut vérifier les trois relations conjointement :

$(1)$ Le coefficient de fluage $\rm \varphi_{(\infty,t_0)} = 1,628 \leq 2$ $\rm\Rightarrow OK$
$(2)$ L'élancement $\lambda=67,09 \leq 75$ $\rm\Rightarrow OK$
$(3)$ La déformation à mi-hauteur $\rm e_i = \dfrac{M_{0Ed}}{N_{Ed}}$ $= \dfrac{0,028}{2}$ $\rm = 0,014 ~m \geq ~?~h=0,30 ~m$ $\Rightarrow$ non conforme ce qui signifie que l’effort normal est très important par rapport au moment du premier ordre.

Méthode basée sur la courbure nominale. $\rm M_{Ed} = M_{OEd} + M_2$

$\rm M_{OEd} =$ moment du $\rm 1^{er}$ ordre, compte tenue de l’effet des imperfections.
$\rm M_2 =$ moment nominal du second ordre.

Les moments d’extrémité du $\rm 1^{er}$ ordre pouvant être différents, on prend une valeur équivalente $\rm M_{oe}$ :

$\rm M_{Oe} = 0,6~M_{02} + 0,4 M_{01}$ avec $\rm |M_{O2}|\geq|M_{O1}|$ en privilégiant le moment le plus fort,si les deux moments provoquent la traction sur la même face.

Dans le cas contraire : $\rm M_{Oe} = 0,6~M_{02} − 0,4 M_{01}$ avec $\rm |M_{O2}|\geq |M_{O1}|$

Le moment nominal du $\rm 2^{ème}$ ordre vaut : $\rm M_2 = N_{Ed} e_2$
$\rm N_{Ed} =$ effort normal agissant de calcul et $\rm e_2$ la déformation : $\mathrm e_2 = \dfrac{1}{r} \dfrac{l^2_0}{c}$ avec $\dfrac{1}{r}=$ la courbure.
$c =$ coefficient dépendant de la distribution de la courbure.

$c=8$ (courbure constante= arc de cercle), sinon $(c=10\simeq\pi^2)$ (courbure sinusoïdale, voir cours de RDM). Pour un poteau constitué de section droite, constante et symétrique (y compris le ferraillage), alors :

Application numérique en reprenant les hypothèses et certains calculs de base de la méthode précédente.

$\begin{array}{ll} \omega =0,474 & ; & \lambda = 67,09\\ \rm e_1 = 0,014~m & ; & l_0 = 5,81~\rm m\end{array}\text{ déjà calculés}$

Hauteur utile géométrique de la section de béton armé : $d = 0,30−0,05 = 0,25~\rm m$

$\dfrac{c}{h} = \dfrac{c'}{h} = \dfrac{5}{30} =0,167$

$n_u = 1 + \omega = 1 + 0,474 = 1,474$
$n_{\rm bal} = 0,4$
$n = \dfrac{\mathrm N_{\mathrm Ed}}{\mathrm A_cf_{cd}} = \dfrac{2,0}{0,09\times 20} = 1,11$

$\beta = 0,35 + \dfrac{f_{ck}}{200} − \dfrac{\lambda}{150}$ $= 0,35 + \dfrac{20}{200} + \dfrac{67,09}{150}$ $= 0,897$

$\rm \varphi_{ef} = \varphi_{(\infty, t_0)} \times \dfrac{M_{0Eqp}}{M_{0Ed}}$ $= 1,628 \times \dfrac{0,046}{0,028}$ $= 2,675$ (déjà calculé dans la méthode précédente)

$\rm K_{\varphi} = 1 + \beta\varphi_{ef}$ $= 1 + 0,897 \times 2,675$ $= 3,40 \geq 1$ (vérifié)
$\mathrm K_r = \dfrac{(n_u-u)}{(n_u−n_{\rm bal})}$ $= \dfrac{(1,474 − 1,11)}{(1,474 − 0,4)}$ $= 0,339 \leq 1$ (vérifié)

Hauteur utile mécanique :

$d = \dfrac{h}{2} + i_s = \dfrac{h}{2} + \rm \sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}$
$d = 0,15$ $+$ $\sqrt{\frac{\pi \times 0,025^4 \times 10^{-4}}{64}\times 4 + \frac{\pi \times 0,025^2\times \left(\frac{0,30}{2} - 0,05\right)^2\times 4}{\mathrm A_s}}$
$d = 0,469~\rm m$

$\dfrac{1}{r_0} = \dfrac{\varepsilon_yd}{0,45 d} = \dfrac{0,00217}{0,45\times 0,469} = 0,0103~\rm m$

$\dfrac{1}{r} = \mathrm K_r \mathrm K_{\varphi}\dfrac{1}{r_0}$ $= 0,339 \times 3,40 \times 0,0103$ $= 0,0119~\rm m$

$\mathrm e_2 = \dfrac{1}{r}\dfrac{l^2_0}{c} = \dfrac{0,0119\times 5,81^2}{10} = \rm = 0,0402~m$
$\Rightarrow \rm M_2 = N_{Ed} e_2 = 2,0\times 0,0402$ $\rm = 0,0804~MN.m$

$\rm M_{Oe} = 0,6 M_{02} + 0,4 M_{01}$
$\rm M_{Oe} = 0,6\times 0,022 + 0,4 \times 0,02$
$\rm M_{Oe} = 0,0212~MN.m \geq ~? ~0,4 M_{02}$
$\rm 0,4 M_{02} = 0,4 \times 0,022$ $\rm = 0,0088~MN.m \Rightarrow OK$

$\rm M_{0Ed} = N_{Ed} e_i$ $\rm = 2,00\times 0,014$ $\rm = 0,028~MN.m$ (déjà calculé), d’où : $\rm M_{Ed} = M_{0Ed} + M_2$ $= 0,028 + 0,0804$ $\rm = 0,1084~MN.m$

On calcule le moment résistant de l’élément et on compare avec $\rm M_{ed} : M_{Ed} = 0,1084~MN.m \leq ~?~ M_{résistant}$
(un des choix proposés dans le « guide méthodologique Eurocode 2, Application aux ponts-routes en béton » édité par le CEREMA. Calcul du moment résistant. Pour un béton $\rm C_{30}$, le coefficient d’équivalence acier / béton sera pris égal à $15$. La valeur de la position de la fibre neutre $y_1$ est donnée par :

$y_1 = d−0,45 d = d ( 1−0,45)$
$y_1 = 0,55d = 0,55\times 0,469 = 0,258~\rm m$

La section d’acier par rangée vaut : $\rm \dfrac{19,263}{2} = 9,815~cm^2 = 9,815\cdot 10^{−4}~m^2$

$\rm I_1 = \dfrac{0,3}{3} \times 0,2583 + 15 \times 9,815\cdot 10^{−4}$ $\times$ $(0,258−0,05)^2 + 15 \times 9,815\cdot 10^{−4}$ $\times$ $(0,25−0,258)^2$
$\rm I_1= 0,002355~m^4$

Contrainte admissible du béton comprimé : $\overline{\sigma_c} = 0,6 f_{ck} = 0,6 \times 30 = 18~\rm Mpa$

$\mathrm{M_{Résistant} = I_1} \dfrac{\overline{\sigma_c}}{y_1}$ $= \dfrac{0,002355 \times 18}{258}$ $\rm = 0,1643~\rm MN.m$
$\rm M_{Ed} = 0,1084~MN.m \leq M_{résistant}$ $\rm = 0,1643~MN .m \Rightarrow OK$