Poutres en treillis – Méthode des nœuds

Définition : une poutre en treillis est composée de barres liées entre elles par des nœuds (rotules) qui ne transmettent pas de moment.

Contrairement aux poutres pleines, il faut définir $2$ types d’hyperstatisme :

Hyperstatisme extérieur (identique à celui des poutres pleines). $d=\rm I−E$ avec :

• $\rm I = \text{nombre d’inconnues}$
• $\rm E = \text{nombre d’équations}$

Hyperstatisme intérieur $\rm (2D)$ : $\delta=b+2 a_0+a_1−2\rm N$ avec :

• $\delta = \text{degré d’hyperstaticité}$
• $b = \text{nombre de barres}$
• $a_0 =$ nombre de liaisons à zéro déplacement (articulation)
• • a1 = nombre de liaison à un déplacement (appui simple)
• $\rm N = \text{nombre de nœuds}$ ($2$ équations de projection par nœud)

Hyperstatisme intérieur $\rm (3D)$ : $\delta = b + 3 a_0 + 2 a_1 + a_2−3 \rm N$ avec :

• $\delta = \text{degré d’hyperstaticité}$
• $b = \text{nombre de barres}$
• $a_0 =$ nombre de liaisons à zéro déplacement (rotule)
• $a_1 =$ nombre de liaison à un déplacement (appui simple)
• $a_2 =$ nombre de liaison à $2$ déplacements (appui ponctuel sur un plan)
• $\rm N = \text{nombre de nœuds}$ ($3$ équations de projection par nœud)

En plus de ces vérifications, il faut que le treillis soit triangulé partout, sans zone mobile (par exemple une zone rectangulaire).

Étude d’une poutre treillis schématisant la flèche d’une grue et son crochet de levage à l’extrémité.

Question : Trouver tous les efforts dans les barres formant la poutre en treillis.

Méthode : On détermine d'abord les réactions d'appui. Puis on utilise la loi des nœuds en faisant le PFS pour chacun et on en déduit les efforts dans chaque barre aboutissant à chaque nœud.

Vérification de l'hyperstatisme du système. Degré d'hyperstaticité extérieure :

$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow$ isostatisme extérieur

Degré d'hyperstaticité intérieure :

$\delta =b+2a_0+a_1−2\rm N=19+2+1−2\times 11=0 \Rightarrow$ isostatisme intérieur

Triangulation : toutes les zones sont au moins simplement triangulées.

Conclusion : le système est isostatique globalement.

Faisons le PFS sur l'ensemble de la poutre en treillis.

$\rm X_1−X_{11}=0$ et $\rm Y_{11}−F=0\Rightarrow Y_{11}=F$

$\rm M/nœud~ 1=−\rm F\times 5 L\times X_{11} \times 2 L$ $\rm \Rightarrow X_{11}=5F_2$ et $\rm \Rightarrow X_1=5F_2$.

Calcul de l'angle « 11-6-4 » :

$\rm \alpha = \arctan \left(\dfrac{L}{3} L\right) = 18,4349°$ $\Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \approx 0,316228$ et $\cos\alpha = \dfrac{3\times \sqrt{10}}{10} \approx 0,948683$

Étude du nœud 11

$proj/ y : \rm F−F_{1−11}−F_{6−11}\times \sin \alpha$ $\rm = F−F_{1−11}−F_{6−11} \times \dfrac{\sqrt{10}}{10} = 0$
$proj/ x : \rm \dfrac{−5 F}{2} + F_{6−11} \times \cos\alpha$ $\rm = \dfrac{−5 F}{2} + F_{6−11} \times \dfrac{3\times \sqrt{10}}{10} =0$ $\rm\Rightarrow F_{6−11} = \dfrac{5\sqrt{10}F}{6}$ $\rm\Rightarrow F_{1−11}=\dfrac{F}{6}$

Étude du nœud 1

$proj / y : \rm \dfrac{F}{6} − F_{2−1} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} =0$ $\Rightarrow\rm F_{2−1} = F\times \dfrac{\sqrt 2}{6}$
$proj/x : \rm \dfrac{5 F}{2} − F_{3−1} − F \times \dfrac{\sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} = 0$ $\Rightarrow \rm F_{3−1} = 7\dfrac{F}{3}$

Étude du nœud 2

$\rm F_{3−2} = F\times \dfrac{\sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt{2}{2}} = \dfrac{F}{6}$ et $\rm F_{4−2} = \dfrac{F}{6}$

Étude du nœud 3

$proj/ y : \rm \dfrac{F}{6} − F_{4−3} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} =0$ $\rm\Rightarrow F_{4−3} = F \dfrac{\sqrt 2}{6}$
$proj/ x : \rm \dfrac{7F}{3} − F \dfrac{\sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} − F_{5−3}$ $=0$ $\Rightarrow \rm F_{5−3} = \dfrac{13 F}{6}$

Étude du nœud 5

$\rm F_{4−5} = 0$ $\quad$ $\rm F_{3−5}=\dfrac{13 F}{6}$ $\quad$ $\rm F_{7−5} = \dfrac{13 F}{6}$

Étude du nœud 4

$proj/ y : \rm F \dfrac{\sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} − F_{7−4} \dfrac{\sqrt 2}{2} =0$ $\Rightarrow \rm F_{7−4} = \dfrac{F \sqrt 2}{6}$
$proj/ x : \rm \dfrac{F}{6} − F_{6−4} + \dfrac{F \sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2}$ $+$ $\rm \dfrac{F \sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} =0$ $\Rightarrow \rm F_{6−4} = \dfrac{F}{2}$

Étude du nœud 6

$proj/ x : \rm \dfrac{F}{2} − \dfrac{5 F \times \sqrt{10}}{6} \times 3$ $\times$ $\rm \dfrac{\sqrt{10}}{10} + F_{8−6}=0$ $\Rightarrow\rm F_{8−6} = 2F$
$proj/ y : \rm −F_{7−6} + \dfrac{5F\times \sqrt{10}}{6}$ $\times$ $\rm \dfrac{\sqrt{10}}{10} =0$ $\Rightarrow \rm F_{7−6} = \dfrac{5F}{6}$

Étude du nœud 7

$proj/ y : \rm \dfrac{5F}{6} + \dfrac{F \sqrt 2}{6} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} − F_{8−7} \times \dfrac{\sqrt 2}{2} =0$ $\Rightarrow\rm F_{8−7}= F \sqrt 2$
$proj/ x : \rm \dfrac{13 F}{6} − \dfrac{F}{6} − F − F_{9−7}=0$ $\rm\Rightarrow F_{9−7}=F$

Étude du nœud 9

$\rm F_{8−9} = 0$ $\quad$ $\rm F_{7−9} = 4\dfrac{F}{3}$ $\quad$ $\rm F_{10−9} = 4\dfrac{F}{3}$

Étude du nœud 8

$proj/x : \rm −2 F + \sqrt 2 F\times \dfrac{\sqrt 2}{2} + \dfrac{\sqrt 2}{2} F_{10−8}=0$ $\Rightarrow \rm F_{10−8} = \sqrt 2 F$
$\rm F_{9−8}=0$

Étude du nœud 10

$proj/x : \rm −\sqrt 2 F\times \dfrac{\sqrt 2}{2} + F=0 \Rightarrow$ équilibre vérifié
$proj/ y : \rm \sqrt 2 F\times \dfrac{\sqrt 2}{2} −F=0 \Rightarrow$ équilibre vérifié

Les deux équations étant vérifiées pour le dernier nœud, les valeurs trouvées dans les barres sont correctes. Il ne reste plus qu’à dresser le tableau des efforts dans chaque barre.

$\rm T = traction$ et $\rm C = Compression$