Vérification des poutres en béton armé sollicitées aux ELS

La vérification d’une poutre aux ELS se fait dans le domaine élastique et respecte les lois de la RDM, notamment la loi de Hooke $\sigma_s = \mathrm E_s \varepsilon_s$ $\sigma_c = \mathrm E_c\varepsilon_c$. Il est nécessaire d’homogénéiser le béton et les armatures en un seul matériau équivalent. Le coefficient d’équivalence « n » acier / béton en est le moyen mathématique. L’ annexe nationale $\rm (AN)$ de l’EC2 fournit la méthode. Les formules ci-après doivent être calculées dans l’ordre chronologique de façon à ce qu’elles soient toutes calculables.

$f_{\rm cm} = f_{ck} + 8 \rightarrow \alpha_1 = \left[\dfrac{35}{f_{\rm cm}}\right]^{0,7}$
$\alpha_2 = \left[\dfrac{35}{f_{\rm}}\right
]^{0,2}$ $\quad$ $\alpha_3 = \left[\dfrac{35}{f_{\rm cm}}\right]^{0,5}$

Calculer $\mathrm A_c$ et $u$, la section de béton et son périmètre humide, puis calculer le rayon humide moyen en $\rm mm$.
$h_0 = \dfrac{2\mathrm A_c}{u}$

Puissance dépendant du type de ciment :
$\alpha = \text{−1 classe S}$ $\quad$ $\alpha = \text{ 0 classe N}$ $\quad$ $\alpha = \text{ +1 classe R}$

Modification de l'âge du chargement :
$\bf t_{0,T} =$ âge du béton au moment du chargement, en jours :

$t_0 = t_{0,T} \times \left(\dfrac{9}{2 + t_{0,T}} + 1 \right)^{\alpha} \geq 0,5$

Coefficient dépendant de l'humidité relative $\bf R_H$ compris entre $0$ $(0\%)$ et $1$ $(100\%)$.

$f_{\rm cm} \leq 35 \Rightarrow \rm \beta_H$ $\rm = 1,5 \times \left[1+(1,2R_H)^{18}\right] \times \mathcal h_0 + 250$
$f_{\rm cm} > 35 \Rightarrow \beta_{\rm H}$ $\rm = 1,5 \times \left[1+(1,2 R_H)^{18}\right] \times \mathcal h_0 + 250 \alpha_3$

$\bf t$ = âge du béton à l'instant considéré, en jours
$\bf t – t_0$ = durée non ajustée du chargement, en jours Coefficient du fluage avec le temps, après chargement : $\beta_c(t,t_0) = \left[\dfrac{t-t_0}{\beta_{\rm H} + t - t_0}\right]^{0,3}$

Facteur d'influence d'âge du béton au moment du chargement : $\beta(t_0) = \dfrac{1}{0,1 + t^{0,20}_{0}}$

Facteur tenant compte de l'humidité relative sur le coefficient de fluage conventionnel :

$f_{\rm cm} \leq 35 \Rightarrow \Phi_{\rm RH} = 1 + \dfrac{\rm 1-R_H}{0,1\times \sqrt[3]{h_ø}}$
$f_{\rm cm} > 35 \Rightarrow \Phi_{\rm RH}$ $= \left[1+ \dfrac{\rm 1 - R_H}{0,1 \times \sqrt[3]{h_0}} \times \alpha_1 \right] \times \alpha_2$

Facteur tenant compte de la résistance du béton sur le coefficient de fluage conventionnel : $\beta f_{\rm cm} = \dfrac{16,8}{\sqrt{f_{\rm cm}}}$

Coefficient de fluage conventionnel : $\Phi_0 = \Phi_{\rm R_H} \beta (f_{\rm cm})\beta(t_0)$

Coefficient de fluage : $\Phi(t,t_0) = \Phi_0\beta_c (t,t_0)$

Pour obtenir le coefficient de fluage au temps infini, il suffit de donner comme valeur : $t \rm = 70~ ans = 25~568~ jours$.

$\Phi_{\infty, t_0} = \Phi_{(t=25~550,t_0)} \rightarrow \Phi_{c,\rm eff} = \Phi_{\infty,t_0}$

Le module d'Young du béton s'écrit : $\rm E_{c,eff} = \dfrac{E_{cm}}{1+ \Phi_{c,eff}}$
Le module $\bf E_{cm}$ dépend des granulats.

Granulats de quartzite : $\rm E_{cm} = E_{cm, quartsite} = 22~000 \times \left(\dfrac{\mathcal f_{cm}}{10}\right)^{0,3}$

Granulats de calcaire : $\rm E_{cm, calcaire} = 0,9 \times E_{cm, quartsite}$

Granulats de grès : $\rm E_{cm, grès} = 0,7 \times E_{cm, quartsite}$

Granulats de basalte : $\rm E_{cm, basalte} = 1,2 \times 2 E_{cm, quartsite}$

Enfin, le coefficient d'équivalence acier / béton s'écrit : $n = \dfrac{\rm E_s}{\rm E_{c,eff}}$

Vérification à l’ELS

Combinaison caractéristique à l’ELS : $\displaystyle \sum_{j\geq 1}(\mathrm G_{kj}) ~✤~ \mathrm P ~✤~ \mathrm Q_{k,1} ~✤ \sum_{i>1} (\Psi_{0,i}\mathrm Q_{k,i})$

Combinaison quasi-permanente à l’ELS : $\displaystyle \sum_{j\geq 1}(\mathrm G_{kj}) ~✤~ \mathrm P ~✤ \sum_{i>1} (\Psi_{2,i}\mathrm Q_{k,i})$

La première étape consiste à trouver la position de la fibre neutre (notée $y_1$ ici, et anormalement $x$ dans le règlement). Une fois celle-ci évaluée, on détermine le moment quadratique $\bf (I_1)$ de la section homogénéisée.

La comparaison se fera sur trois paramètres :

• Vérification de la contrainte maxi du béton comprimé avec la contrainte réglementaire.
• Vérification de la contrainte maxi des aciers tendus et comprimés avec la contrainte réglementaire.
• Vérification de la flèche maxi de la poutre avec la valeur réglementaire. Vérification de l’ouverture des fissures en zone tendue.

Équation des moments statiques de la section de poutre : $\dfrac{by^2_1}{2} + n (\mathrm A'_s + \mathrm A_s) y_1 - n (\mathrm A'_sc' + \mathrm A_sd)$ $= 0$ $\rightarrow y_1$

Équation des moments quadratiques de la section de poutre homogénéisée : $\mathrm I_1 = \dfrac{by^3_1}{3} + n \mathrm A'_s(y_1-c')^2 + n \mathrm A_s (d-y_1)^2$

• Béton comprimé : $\sigma_c = \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}y_1$
• Aciers comprimés : $\sigma'_s = n \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_s}(y_1-c')$
• Aciers tendus : $\sigma_s = n \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}(d-y_1)$

Vérifications réglementaires

Limitation des contraintes :

• Sous chargement de combinaison caractéristique à l' ELS : $\sigma_c \leq k_1 f_{ck} = 0,6 \times f_{ck}$
• Sous chargement de combinaison quasi-permanente à l' ELS :
  $\sigma_c \leq k_2 f_{ck} = 0,45 \times f_{ck}$
• Contrainte limite de traction des armatures à l' ELS : $\sigma_s\leq k_3 f_{yk} = 0,8 \times f_{yk}$

Section minimale d'armatures :

• $\mathrm A_{s,min} \sigma_s = k_c kf_{ct,\rm eff} \mathrm A_{ct}$.
• $\mathrm A_{ct} =$ aire de la section de béton tendue autour des aciers tendus.
• $\mathrm A_{s,\rm min =}$ section minimale d'armatures de béton armé dans la zone tendue.
• $\sigma_s =$ valeur absolue de la contrainte maximale admise dans l'armature immédiatement après la formation de la première fissure.
• $f_{ct,\rm eff} =$ valeur moyenne de la résistance à la traction du béton. Au delà de $28$ jours de vieillissement, $f_{ct,\rm eff} = f_{ctm}$ avec $f_{ctm} = 0,3 \times f^{\frac{2}{3}}_{ck} \leq \rm C50/60$ $f_{ctm} = 2,12 \times \ln\left(1 + \left(\dfrac{f_{\rm cm}}{10}\right)\right)$ $\rm > C50/60$ $\rm \ln ~(calculette) = Log~ (Maths)$ $= \text{ Logarithme Népérien}$

Lorsque le béton est en cours de durcissement : $f_{ctm}(t) = (\beta_{cc} (t))^{\alpha}\times f_{ctm}$ $\beta_{cc}(t) = e^{s\left[1-\left(\frac{28}{t}\right)^{1/2}\right]}$

$\alpha = 1$ pour $t < 28$ jours et $\alpha = \dfrac{2}{3}$ pour $t \geq 28$ jours.

Même raisonnement et mêmes conditions pour les membrures de la poutre.

• $k_c=1$ en traction pure.

En flexion simple ou composée, voir le tableau ci-dessous.

Nous reprendrons l’exemple défini dans le chapitre 3 ELU.

En suivant la notice de calcul du coefficient d’équivalence « n », on trouve :

$\mathrm E_{c,\rm eff} = 16~216~\mathrm{MPa} \rightarrow n$ $= \dfrac{\mathrm E_s}{\mathrm E_{c,\rm eff}}$ $= \dfrac{200~000}{16~216} = 12,33$

$\dfrac{by^2_1}{2} + n(\mathrm A'_s + \mathrm A_s) y_1 − n(\mathrm A_sc' + \mathrm A_s d) = 0$
$y_1^2 + 0,914705 y_1 − 0,884731 = 0$ $\Rightarrow y_1 = 0,589~\rm m$
$\mathrm I_1 = \dfrac{by^3_1}{3} + n \mathrm A'_s(y_1 - c')^2 + n \mathrm A_s (d - y_1)^2$
$\rm I_1 = \dfrac{0,55\times 0,589^3}{3}$ $+$ $12,33 \times 0,0012566(0,589-0,091)^2$ $+$ $12,33 \times 0,0192014(1,025 - 0,589)^2$
$\rm I_1 = 0,086311~m^4$

Contraintes réelles dans la section de poutre en combinaison caractéristiques et comparaison avec les valeurs réglementaires :

• Béton comprimé : $\sigma_c = \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}y_1 = \dfrac{4,655}{0,086311} \times 0,589$ $\rm = 31,77~MPa$
  $\sigma_c \leq k_1f_{ck} = 0,6 \times f_{ck} = \rm 24~MPa \rightarrow$ valeur non vérifiée.
• Aciers comprimés : $\sigma'_s = n \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1} (y_1-c')$ $= \dfrac{12,33\times 4,655}{0,086311} \times (0,589 - 0,091)$ $\rm = 331,17~MPa$
  $\sigma_s \leq k_3 f_{yk}$ $= 0,8 \times f_{yk}$ $= 0,8 \times 500$ $= 400~\rm MPa \rightarrow$ valeur vérifiée.
• Aciers tendus : $\sigma_s = n \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}(d-y_1)$ $= \dfrac{12,33 \times 4,655}{0,086311}(1,025−0,589)$ $= 289,59~\rm MPa$
  $\sigma_s\leq k_3 f_{yk} = 0,8 \times f_{yk}$ $=0,8 \times 500$ $\rm = 400~MPa \rightarrow$ condition vérifiée.

Afin de corriger le dépassement de la contrainte admissible du béton comprimé, il y a trois possibilités :

1. Augmenter la résistance du béton en choisissant un $\rm C55/67$, ce qui donne $0,6\times f_{ck} \rm =33~MPa$
2. Augmenter la section d’acier comprimés.
3. Faire un mélange des deux solutions, choix que nous allons privilégier, car la $\rm 2^{ème}$ solution risque de ne pas être suffisante.

On remplace les aciers comprimés par $\mathrm A’_s = 1 \times \rm 4~HA~40= 50,265~cm^2$, d’où $c’ = 101~\rm mm$ et le béton par un $\mathrm C50/60 \rightarrow 0,6\times f_{ck} = 30~\rm MPa$.

Nouveau coefficient d’équivalence $n = 10,71$ et $\mathrm E_{c,\rm eff} = \rm 18~681~ MPa$

$\dfrac{by^2_1}{2} + n (\mathrm A'_s + \mathrm A_s) y_1 - n (\mathrm A'_sc' + \mathrm A_s d) = 0$

$y^2_1 + 0,943567y_1 - 0,786273 = 0$ $\Rightarrow y_1 = \rm 0,532~m$

$\rm I_1 = \dfrac{0,55 \times 0,532^3}{3}$ $+$ $10,71 \times 0,0050265(0,532-0,101)^2$ $+$ $10,71 \times 0,0192014(1,025-0,531)^2$

$\rm I_1=0,087587~m^4$

Vérification des contraintes

$\sigma_c = \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}y_1$ $= \dfrac{4,655}{0,087587} \times 0,532$ $= \rm 28,28~MPa$ $< 0,6 f_{ck} = \rm 30~MPa \Rightarrow OK$

$\sigma'_s = n \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}(y_1-c')$ $= \dfrac{10,71 \times 4,655}{0,087587} \times (0,532 - 0,101)$ $= \rm 245,33~MPa$ $< 0,8 f_{yk} = \rm 400~MPa \Rightarrow OK$

$\sigma_s = \dfrac{\mathrm M_s}{\rm I_1}(d-y_1)$ $= \dfrac{10,71 \times 4,655}{0,087587} \times (1,025 - 0,532)$ $= \rm 280,62~MPa$ $< 0,8 f_{yk} = \rm 400~MPa \Rightarrow OK$

C’est le béton comprimé qui pose problème, ce qui entraîne  un fonctionnement des aciers non optimisés. Pour cela, il faudrait diminuer un peu les aciers tendus, par exemple passer à $\mathrm A_s = \rm 3 \times 4~ HA~40 + 1 \times 4~HA~32$ $\rm = 182,966 ~cm^2$. Mais n’oublions pas qu’il faut aussi vérifier la flèche de la poutre.

Vérification de la déformée

$f = \rm \dfrac{5pl^4}{384EI} = \dfrac{5Ml^2}{48EI} = \dfrac{Ml^2}{9,6EI}$ avec $\rm E = E_{c,eff} = 18~681~MPa$

Calculé en même temps que le coefficient d’équivalence $n = 10,71$.

Le moment quadratique est calculé pour la section fissurée, déjà fait avec l’ancienne solution : $y_1=0,532\rm~m$ et $\rm I_1=0,087587~\rm m^4$ et avec la nouvelle proposition retenue $\mathrm A_s = 3 \times \rm 4~HA~40 + 1 \times 4~HA~32$ $\rm = 182,966~cm^2$

$\dfrac{by^2_1}{2} + n (\mathrm A'_s + \mathrm A_s) + y_1 - n (\mathrm A'_sc' +  \mathrm A_sd) = 0$
$y^2_1 + 0,908327y_1 - 0,750156=0$ $\Rightarrow y_1 = \rm 0,523~m$
$\mathrm I_1 = \dfrac{0,55\times 0,523^3}{3} + 10,71$ $\times$ $0,0050265(0,523-0,101)^2 + 10,71$ $\times$ $0,0182966(1,025-0,523)^2$
$\rm I_1 = 0,085196~m^4$

Le moment quadratique doit être aussi calculé pour la section non fissurée. Le béton est intégralement pris en compte. Il faut calculer le nouveau $y_1$.

$bh\left(\dfrac{h}{2} −y_1\right)+ n\mathrm A's (y_1−c') − n\mathrm A_s (d−y_1)$ $= 0$ $0,6875(0,625−y_1)$ $+$ $0,053834 (y_1−0,101)$ $−$ $0,195957(1,025 − y_1)=0$
$\Rightarrow y_1 = \rm 0,510~m$

$\mathrm I_1 = \dfrac{b y^3_1}{3} + n \mathrm A'_s (y_1−c')^2 + n \mathrm A_s (d− y_1)^2$
$\rm I_1 = \dfrac{0,55 \times 0,51^3}{3}$ $+$ $10,71 \times 0,0050265 (0,51−0,101)^2$ $+$ $10,71\times 0,0182966 (1,025−0,51)^2$
$\rm I_1 = 0,085297~m^4$

Moment limite avant l’apparition de la première fissure : $f_{ct,\rm eff} = 3,5~\rm MPa$ $\Rightarrow \sigma_s = nf_{ct, \rm eff} = 10,71 \times 3,5$ $\rm =37,449~MPa$

$\mathrm{M_{CR}} = \dfrac{\mathrm I_1\sigma_s}{n (d-y_1)}$ $= \dfrac{0,085297 \times 37,449}{10,71 \times (1,025 - 0,51)}$ $=\rm 0,579132~m.MN$
$\rm \Rightarrow \alpha | = \dfrac{Ml^2}{9,6EI_2} = \dfrac{0,579132 \times 14,00^2}{9,6 \times 18~681 \times 0,085297}$ $\rm = 0,00742~m = 0,742~cm$

Après fissuration $\rm M_{se, qp} = 3,185~m. MN$ $\Rightarrow \alpha \| = \dfrac{3,185 \times 14,00^2}{9,6\times 18~681 \times 0,085196}$ $\rm =0,04086~m = 4,086~cm$

Ensuite il faut combiner les deux flèches.

$\text{Flexion simple} \Rightarrow \beta = 0,5 \Rightarrow \zeta$ $= 1 − \beta \left(\dfrac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2$ $= 1 - 0,5 \times \left(\dfrac{37,449}{280,62}\right)^2$ $= 0,991$

$\Rightarrow \rm \text{flèche } \alpha = \zeta\alpha \| + (1-\zeta)\alpha|$ $= 0,991 \times 0,04086 + (1-0,991) \times 0,00742$ $\rm = 0,040559~m = 4,0559~cm$

La flèche maxi en situation quasi-permanente est : $\dfrac{l}{500} = \dfrac{14,00}{500} = 0,028~\rm m = 2,8~cm$

La condition de flèche n’est pas respectée car $\rm \alpha = 4,0559~cm > \dfrac{l}{500} = 2,8~cm \rightarrow$ il faut vérifier l'ouverture des fissures.

Vérification de l’ouverture des fissures

L’idée est de calculer l’allongement du béton $\rm (\varepsilon_{cm})$ et l’allongement des aciers tendus $\rm (\varepsilon_{sm})$ et d’en faire la différence. Celle-ci représentera l’ouverture des fissures.

$(\varepsilon_{\rm sm} − \varepsilon_{\rm cm}) = \sup \left(\dfrac{\sigma_s - k_t \times \frac{f_{ct,\rm eff}}{\rho_{p,\rm eff}} \times (1 + \alpha_{\rm e}\rho_{p,\rm eff})}{\rm E_s}~; 0,6\dfrac{\sigma_s}{\rm E_s}\right)$
$\alpha_{\rm e} = \dfrac{\rm E_s}{\rm E_{cm}}$ $\quad$ $\rho_{p,\rm eff} = \dfrac{\mathrm A_s + \xi^2_1\mathrm A'_p}{\mathrm A_{c,\rm eff}}$ $\quad$ $\xi_1 = \sqrt{\xi \times \dfrac{\Phi_s}{\Phi_p}}$ si câbles de précontrainte $\mathrm A_p$.

$\mathrm A_{c,\rm eff} =$ aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, $h_{c,ef} = \mathrm Inf\left(2,5(h-d)~;\dfrac{(h-y_1)}{3}~;\dfrac{h}{2}\right)$

$\mathrm A_s =$ section d'armatures passives tendues.

$k_t =$ facteur dépendant de la durée de la charge, valant :

$k_t=0,6$ si charge de courte durée.
$k_t=0,4$ si charge de longue durée.

Dans la figure ci-dessus, $y_1=x$
$\mathrm S_{r,\rm max} = k_3c +k_1k_2k_4 \dfrac{\Phi}{\rho_{p, \rm eff}}$

$c =$ enrobage des armatures longitudinales.
$k_1 = 0,8$ si $\rm HA$ sinon $1,6$.
$k_2 = 0,5$ si flexion.
$k_2 = 1$ si traction pure.
$k_3 = 3,4$ si $c < \rm 25~mm$
$k_3 = 3,4 \left(\dfrac{25}{c}\right)^{\frac{2}{3}}$ si $c \geq \rm 25~mm$
(Annexe nationale)
$k_4 = 0,425$ (Annexe nationale)

Application sur l’exemple actuel.

$h_{c,ef} = \mathrm Inf \left(2,5(1,25−1,025) ~; \frac{(1,25−0,523)}{3}\right.$ $;$ $\left.\frac{1,25}{2}\right)$

$h_{c ,ef} = \mathrm Inf (0,563~ ; 0,242~ ; 0,625)$ $= \rm 0,242~m$
$\Rightarrow \mathrm A_{c,\rm eff} = 0,55 \times 0,242 = 0,133~\rm m^2$

$\rho_{p,\rm eff} = \dfrac{\mathrm A_s + \xi^2_1 \mathrm A_p}{\mathrm A_{c, \rm eff}} = \dfrac{182,966+0}{1~330} = 0,138$ et

$\alpha_{\rm e} = \dfrac{\rm E_s}{\rm E_{cm}} = \dfrac{\rm E_s}{22~000\left(\frac{f_{\rm cm}}{10}\right)^{0,3}} = 5,365$

$0,6\dfrac{\sigma_s}{\rm E_s} = \dfrac{0,6 \times 289, 59}{200~000} = 0,000869$ et $\rightarrow k_t = 0,4$ $\quad$ $f_{ct, \rm eff} = \rm 3,5~MPa$

$\sigma_s = n \dfrac{\rm M_s}{\rm I_1}(d-y_1)$ $= \dfrac{10,71 \times 3,185}{0,085196}(1,025 - 0,523)$ $\rm= 201,00~MPa$

$\dfrac{\sigma_s - k_t \times \frac{f_{ct, \rm eff}}{\rho_{p, \rm eff}} \times (1 + \alpha_{\rm e}\rho_{p,\rm eff})}{\rm E_s}$ $=\dfrac{201,00 - \frac{0,4\times 3,5}{0,138} \times (1 + 5,365\times 0,138)}{200~000}$ $=0,000917$

$\rm (\varepsilon_{sm}−\varepsilon_{cm})=\sup \cdot (0,000917 ~;0,000869)$ $= 0,000917$

Paquets de deux $\rm HA 40 \rightarrow \text{diamètre}$ équivalent de $\rm \phi = 56,6 ~mm$

$\mathrm S_{r,\rm max} = k_3 c+k_1 k_2 k_4 \dfrac{\phi}{\rho_{p,\rm eff}}$ avec $c=c_{\rm nom} = 66,57~\mathrm{mm} \Rightarrow k_3$ $= 3,4 \left(\dfrac{25}{66,57}\right)^{\frac{2}{3}} = 2,14$

$\mathrm S_{r,\rm max}=2,14\times 0,06657 + \frac{1,6\times 0,5\times 0,425\times 0,0566}{0,138}$ $\rm =0,233~m = 233~mm$

$\mathrm W_k = \mathrm S_{r,\rm max} (\varepsilon_{sm}−\varepsilon_{cm} )$ $=233\times 0,000917$ $\rm =0,214~mm < 0,3~mm$ conforme à l’EC2, donc acceptable.