Définition
Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme
au suivant en multipliant par le même réel $q$.
On a alors $u_{n + 1} = u_n
\times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite
géométrique.
Une suite géométrique est définie de manière unique
par sa raison et son premier terme.
Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique,
on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ et on obtient un réel $q$.
Terme général
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.
Monotonie d'une suite géométrique
Si $u_0$ et $q$ sont strictement positifs :
- si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante ;
- si $0 < q < 1$, alors la suite est
strictement décroissante ;
- si $q =1$, alors la suite est constante.
Somme des premiers termes
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$, $S = u_0 + u_1 + ... + u_n $ $= u_0 \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$.
