Fonction d'une variable réelle

Fonction polynôme de degré 2

Elle est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)$ = $ax^2$ + $bx$ + $c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels, $a$ non nul.

La droite d’équation $x$ = $\frac{-b}{2a}$ est axe de symétrie pour $C_f$, qui est une parabole.

• Si $a$ > 0, $f$ est strictement décroissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement croissante sur [$\frac{-b}{2a}$ ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le haut).

• Si $a$ < 0, $f$ est strictement croissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement décroissante sur [$\frac{-b}{2a}$ ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le bas).
• $f(\frac{-b}{2a})$ = $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$ donc le sommet de la parabole est le point S($\frac{-b}{2a}$ ; $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$).

Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^{x}$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.

Définition et propriétés d’une intégrale

On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$ et on note $F$ une de ses primitives. On a :  $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a ; b] (a < c < b)$ et un réel $k$ :

• $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$.
• $\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$.
• $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$.
• $f(x) > 0$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > 0$
• $f(x) > g(x)$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx$.

Aire entre deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continue et telles que $f(x) < g(x)$ sur l’intervalle $[a ; b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, celle de $g$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx$ (en unités d’aire).

Valeur moyenne
Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$.
On a $\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Asymptote horizontale  

Elle existe lorsque $\lim_{x \to \pm infty} f(x)$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque $\lim_{x \to k} f(x)$ = $\pm \infty$ ($k$ valeur interdite pour $f$). L'asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $x = k$.

Asymptote oblique

Elle existe lorsque, pour une droite d’équation $y = ax + b$, on a $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)]$ = 0.

L'asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ a donc pour équation $y = ax + b$.

But des développements limités (en abrégé d.l) : on cherche à approcher une fonction au voisinage d'un point par une fonction polynomiale.

Définition : Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$. La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ et une fonction $\epsilon$ tels que $f(x) = a_0 + a_1(x-a)+\ldots+a_n(x-a)^n+ (x-a)^n\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0}$.
Remarque : un développement limité à l'ordre $1$ correspond à approcher la courbe $y=f(x)$ par sa tangente d'équation $y=f(a) + f'(a)(x-a)$.
En fait, il suffit de connaître les d.l en $0$. En effet, posons $h=x-a$ et $g(h) = f(x) = f(a+h)$. Effectuer le d.l de $f$ en $a$ revient à faire le d.l de $g$ en $0$.

D.L usuels à connaître en $0$ :
$\displaystyle{\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \ldots + (-1)^nx^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p}}{(2p)!} + x^{2p}\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p+1}}{(2p+1)!} + x^{2p+1}\epsilon(x)}$
$\alpha$ étant un réel quelconque.
$\displaystyle{(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\ldots +
 \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x)}$

Opérations sur les d.l : on peut faire toutes les opérations sur les d.l. (combinaisons linéaires, produit, quotient, composée). Lorsqu'on fait les calculs, on ne garde que les termes de degré $\le n$.
Exemple : calculer le d.l de $f(x) = \cos(x)\sin(x)$ à l'ordre $4$. On a
$\displaystyle{f(x) = \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} + x^4\epsilon_1(x)\right)\times\left(x-\frac{x^3}{3!} + x^4\epsilon_2(x)\right)}$.
Lorsqu'on développe, on ne garde que les termes de degré $\le 4$ soit
$\displaystyle{f(x) = x - \frac{2}{3}x^3 + \epsilon(x) x^4}$.

Applications : calcul de limite
Exemple : calculer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}\right)}$. Notons $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}}$. On calcule tout d'abord la somme des deux fractions : $\displaystyle{f(x) = \frac{x^2-x\ln(1+x)}{x^3}}$.
Effectuons le d.l du numérateur à l'ordre $3$ :
$\displaystyle{x^2 -x\ln(1+x) = x^2-x(x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + x^3\epsilon(x)) = \frac{x^3}{2} + x^3\epsilon_1(x)}$. Donc $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{2} + \epsilon_1(x)}$ donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\frac{1}{2}}$.