Calcul vectoriel

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).

Définition

Soit $\vec{u}(x~; ~y~; ~z)$ et $\vec{v} (x~; ~y~; ~z’)$ deux vecteurs de l’espace.

Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est le vecteur défini par :

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ ;
• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires :
• $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ; (direction)
• $\displaystyle (\vec{u}~; ~\vec{v}~; ~\vec{u} \wedge \vec{v})$ est une base directe ; (sens)
• $\displaystyle \| \vec{u} \wedge \vec{v} \| = \| \vec{u} \|$ $\displaystyle \| \vec{v} \| \sin(\vec{u}~; ~\vec{v})$. (longueur)

Remarque :

Si le repère orthonormal ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$) est direct, les coordonnées du vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$  sont :

$$\displaystyle \vec{u} \wedge \vec{v} (yz' - zy~; ~x’z - xz~; ~xy’ - yx’)$$

Propriétés 

Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace et $\alpha$ un nombre réel :

• $\displaystyle \vec{v} \wedge \vec{u} = -\vec{u} \wedge \vec{v}$ ;
• $\displaystyle(\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{u} \wedge (\alpha \vec{v})$ ;
• $\displaystyle \vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$ et $\displaystyle (\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w}$.

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}$($x$ ; $y$ ; $z$) et $\vec{v}$($x’$ ; $y’$ ; $z’$), deux vecteurs de l'espace : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = $xx’ + yy’ + zz’$ qui est un nombre réel.

Propriétés du produit scalaire
Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace et un nombre réel $k$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ = $\vec{v} \cdot \vec{u}$ ; $(k\vec{u}) \cdot \vec{v}$ = $\vec{u} \cdot (k \vec{v})$ $= k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Norme d’un vecteur
Pour $\vec{u}$($x$ ; $y$ ; $z$) un vecteur de l'espace, $\| \overrightarrow u \|$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Distance entre deux points
Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$, deux points de l'espace :

$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$ = $\sqrt{{({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})}^2 + {({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})}^2 + {({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})}^2}$.

Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs non nuls du plan :

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ = $\| \vec{u} \|$ $\| \vec{v} \|$ cos($\vec{u}$ ; $\vec{v}$)
Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = 0.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = xx’ + yy’ qui est un nombre réel.

Exemple : pour $\vec{u}$(2 ; -1), $\vec{v}$(1 ; 0) deux vecteurs du plan, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = 2$\times$1 + (-1)$\times$0 = 2.

Formules d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle quelconque.
${\mathrm{BC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{AC}}^2$ - 2AB$\times$AC cos($\hat{\mathrm{A}}$)
${\mathrm{AB}}^2$ = ${\mathrm{AC}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AC$\times$BC cos($\hat{\mathrm{C}}$)
${\mathrm{AC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AB$\times$BC cos($\hat{\mathrm{B}}$)