Définition : Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb R$, muni d’un produit scalaire.
Soit $\rm E$ un espace euclidien.
Définition :
- Une base orthogonale de $\rm E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
- Une base orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.
Théorème :
Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$ et soit $x\in \rm E$.
- $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)e_k$
- $\|x\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)^2$
Le réel $(x|\mathrm e_k)$ est la coordonnée de $x$ par rapport à $\mathrm e_k$ dans la base $(\mathrm e_1,\ldots,\mathrm e_n)$.
Théorème :
Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$. Si $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k} \mathrm e_k$ et $y=\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{k} \mathrm e_k$, le produit scalaire se calcule avec la formule :
$(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{\rm k} y_{k}$
Théorème :
Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$.
$\mathrm{F^{\bot}}=\{x\in \mathrm E/\text{pour tout } y \in \mathrm F, (y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\mathrm{F}$:
- $\mathrm{F+F^{\bot}=E}$
- $\mathrm{F\cap F^{\bot}=\{0_E\}}$
- Pour tout $(x, y)\in \mathrm F\times \mathrm F^{\bot}, (x|y)=0$
- $\rm \dim (F^{\bot})=\dim(E)-\dim(F)$
