Puissances et polynômes

Puissances :

$x^{m+n}=x^m x^n$
$(xy)^n=x^n y^n$
$x^{-m}=\displaystyle\frac{1}{x^m}$
$\displaystyle\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$
$(x^m)^n=x^{m\times n}$

Identités remarquables :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Un polynôme est une fonction $\mathrm P$ définie par $\mathrm P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$. Chaque terme $a_ix^i$ est un monôme de degré $i$ et de coefficient $a_i$. Le polynôme $\mathrm P$ est de degré $n$ et on note $\deg \mathrm P=n$ lorsque le monôme de degré $n$ n’est pas nul.

Si $\mathrm P$ et $Q$ sont des polynômes, $\deg \mathrm P\times Q= \deg \mathrm P + \deg Q$ et $\deg(\mathrm P+Q)$ $\leq$ $\mathrm{max}(\deg \mathrm P ; \deg Q)$.

Exemple :

$\mathrm P(x)=-x^2+x+2$ et $Q(x)=x^2+2x+4$ ($\deg \mathrm P= deg Q=2$).

On calcule $(\mathrm P+Q)(x)==3x+6$ et on observe que $\deg(\mathrm P+Q)=1$.

Le polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, il n’a pas de degré et il est nul pour n’importe quelle valeur de $x$.

La racine $x_0$ d’un polynôme $\mathrm P$ est un nombre tel que $\mathrm P(x_0)=0$.

Exemple :

$x_0=\displaystyle\frac{1}{3}$ est la racine du polynôme $P(x)=3x-1$.

Théorème fondamental :

Si $x_0$ est une racine du polynôme $\mathrm P$ alors ce polynôme est factorisable par $(x-x_0)$, c’est-à-dire : $\mathrm P(x)=(x-x_0)\times Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré égal à celui de $\mathrm P$ moins 1.

Exemple :

$\mathrm P(x)=3x^2-3x-6$, un polynôme du second degré.

Discriminant : $\Delta=b^2-4ac=81=9^2$ donc il y a deux racines : $x_1=\displaystyle\frac{3-\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=-1$ et $x_2=\displaystyle\frac{3+\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=2$ donc $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a$ constante. Ici $\mathrm P(x)=3(x+1)(x-2)$. 

Signes d’un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$

• Si le polynôme admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ (discriminant positif), le polynôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
• Si le polynôme admet une racine réelle double (discriminant nul), le polynôme est du signe de $a$.
• Si le polynôme n’admet pas de racine réelle (discriminant négatif), le polynôme est du signe de $a$.