Fonction exponentielle 2 – Algébrique

Définition
L’unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f’ = f$ et $f(0) = 1$ est la fonction exponentielle.
Elle est notée $x \mapsto \exp(x) = {\mathrm{e}}^x$.

Propriétés algébriques
${\mathrm{e}}^0 = 1$
Pour tous nombres réels $x$ et $y$ :
${\mathrm{e}}^{x + y} = {\mathrm{e}}^x \times {\mathrm{e}}^y$ ;
$\displaystyle {\mathrm{e}}^{-x} = \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}$ ;
$\displaystyle {\mathrm{e}}^{x - y} = \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}$ ;
${({\mathrm{e}}^x)}^n = {\mathrm{e}}^{n x}$ ($n$ entier relatif).

Dérivée de $\mathrm e^u$
Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u’ \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Propriétés graphiques
La fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Limites

Limite en $- \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = +\infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Représentation graphique

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$