Fonctions : limites, continuité, dérivation 2

Limite d’une fonction

On peut étudier la limite d'une fonction en un point de son intervalle de définition ou aux bornes de son ensemble de définition (valeur finie ou à l'infini).
On a deux cas possibles :

• la limite existe et est finie ;
• la limite est infinie ou n'existe pas.

Étude de la limite d’une fonction

Pour étudier la limite d'une fonction, on peut :

• Utiliser les propriétés sur les limites des fonctions de référence ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration/minoration ;
• Encadrer la fonction par deux fonctions qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Fonction carrée

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

Fonction cube 

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$. 

Fonction inverse 

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}$ = 0 ; $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 $. 

Fonction logarithme népérien

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. 

Fonction exponentielle

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm e^x = 0$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm e^x = +\infty$.  

Composée de limites

Pour $a$, $b$ et $l$ des nombres réels, $-\infty$ ou $+\infty$ : si $\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\displaystyle \lim_{y \to b} f(y) = l$, alors $\displaystyle \lim_{x \to a} f(u(x)) = l$.

Exemples :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} -4x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{y \to -\infty} \mathrm e^y = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm e^{-4x} = 0$.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+$ et $\displaystyle \lim_{y \to 0^+} \ln(y) = -\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\infty$.

Asymptote horizontale  

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel $k$).
L'asymptote horizontale a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Exemple : Pour $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 5}$, $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$.

La droite d’équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $-\infty$  et en $+\infty$. 

Asymptote verticale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est infinie ($\pm \infty$).
L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.

Exemple : Pour $\displaystyle g(x) =\frac{1}{x-3}$, $\displaystyle \lim_{x \to 3} g(x)$ $= \pm \infty$.

La droite d’équation $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $g$. 

On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ si elle est définie sur $\rm I$ et si on peut tracer sa courbe représentative d'un trait continu, sans lever le crayon.

Exemples :

• Les fonctions usuelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
• La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$.
• La fonction inverse est continue sur $]-\infty~ ; 0[$ et sur $]0~ ; +\infty[$.
• La fonction racine carrée est continue sur $[0~ ; +\infty[$.
• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

Théorème 1 dit « des valeurs intermédiaires »

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~ ; b]$ toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes au moins une fois.

Théorème 2 dit « de la valeur intermédiaire »

"Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a~ ; b]$ quel que soit le nombre $c$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique nombre $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = c$.

Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$.
On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.
Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f '(x_0)$.
On a donc $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ = $f'(x_0)$.

Calcul du nombre dérivé
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f dérivable en $x_0$ on calcule $f '(x_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

Equation de la tangente à une courbe en un point
La tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation :
$y = f’(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Dérivée d’une somme
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u + v) ' = u' + v'$.

Dérivée d’un produit par un réel
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée d’un produit
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$.

En particulier si $v = u$, on a $(u^2)'=2u'u $.

Dérivée d’un quotient
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a : $\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.
En particulier, $\displaystyle \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$.

Dérivée d’un composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $\rm I$ par $u(x) = g(ax + b)$ ($a$ et $b$ deux réels, $ax + b \in \rm J$ un intervalle et $g$ dérivable sur $\rm J$).
Si $u$ est dérivable sur $\rm I$, alors $u’(x) = ag’(ax+b)$.

Dérivée de $\mathrm e^u$
Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u’ \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

En particulier, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle.

Dérivée et variations
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$.
Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in \rm I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\rm I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in \rm I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\rm I$.

Extremum d’une fonction
Soit $a\in \rm I$ qui est distinct des extrémités de $\rm I$.
$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.