Lois à densité

Fonction de densité

La fonction $f$ est une fonction de densité sur l'intervalle $\mathrm I = [a ~; b]$ ($a < b$) si :

• la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ;
• la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ;
• $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx = 1$.

Dans ce cas, on définit une loi de probabilité continue en posant pour tout $(c , d) \in \rm I^2$ ($c < d$) :

$\displaystyle\mathrm P(c < \mathrm X < d) = \int_{c}^{d} f(x) \mathrm dx$.

Espérance

L'espérance de la variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi à densité $f$ sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est :

$\displaystyle\mathrm{E(X)} = \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm dx$.

Définition

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est définie par :

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a~ ; b]$.

Espérance de la loi uniforme

L'espérance de la variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$) est :

$\displaystyle\mathrm{E(X)} = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} \mathrm dx$ $\displaystyle= \frac{a + b}{2}$.

Exemple :

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ~; 20]$ est définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{20}$ sur $[0~ ; 20]$.
Son espérance est :

$\displaystyle\rm E(X) = \frac{0 + 20}{2} = 10$.

Fonction de densité

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est définie par :

$f(x) = \lambda \mathrm e^{-\lambda x}$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

Pour tout $t > 0$, la probabilité de l'événement $(\mathrm X \leq t)$ est donnée par :

$\displaystyle\mathrm{P(X} \leq t) = \int_0^{t} \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \mathrm dx$.

Durée de vie sans vieillissement

La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout $t > 0$ et $h > 0$, $\mathrm{P_{T} \geq t}(\mathrm T \geq t + h) =\mathrm{P(T} \geq h)$ pour une variable aléatoire $\rm T$ qui suit cette loi.

Espérance

L'espérance de la variable aléatoire $\rm X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est $\displaystyle\rm E(X) = \frac{1}{\lambda}$.