Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.
La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :
$\rm P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$
On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(p)$.
$\mathrm{E(X)}=p$
$\mathrm{V(X)}=p(1-p)$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{p(1-p)}$.
Loi binomiale
Lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres, on obtient un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire $\rm X$, comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0~ ;1[$) si :
Pour tout $k\in [|0,n|]$, $\mathrm{P(X}=k)$ $=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}$ $=\mathrm C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.
On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
$\mathrm{E(X)}=np$
$\mathrm{V(X)}=np(1-p)=npq$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{npq}$.
Coefficients binomiaux
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$
Formule du triangle de Pascal
$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$
