Variables aléatoires discrètes finies

Variable aléatoire

Soit $\rm E$ une expérience aléatoire d'univers $\Omega$.
Une variable aléatoire $\bf X$ est une application qui, à un événement élémentaire de $\Omega$, associe un nombre réel.

Loi de probabilité

Soit $\rm X$ une variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs prises est $\{x_1 ~; x_2~ ; \ldots ; x_n\}$.
Donner la loi de probabilité de $\rm X$, c’est donner la probabilité $p_i = \mathrm{P({X} = x_i})$ où l'évènement $\{\mathrm X = x_i \}$ est constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par $\rm X$ est $x_i$.
Les nombres $p_i$ vérifient : $0 \leq p_i \leq 1$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

Espérance

L’espérance est $\displaystyle \mathrm{E(X)} = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathrm{P(X} = x_i)$.

Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels, tels que $p < n$.

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi n se note $\displaystyle\binom{n}{p}$ et se lit « $p$ parmi $n$ ».

$\displaystyle\binom{n}{p} = \frac{n!}{p! (n-p)!}$ 

Valeurs simples :

$\displaystyle\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$

et 

$\displaystyle\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$ 

Formule de la symétrie :

$\displaystyle\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$ 

Relation de Pascal :

$\displaystyle\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p- 1} + \binom{n-1}{p} $ ($p$ et $n$ non nuls)

Loi de Bernoulli

Soit $\rm E$ une épreuve comportant $2$ issues (succès ou échec).

On note $p$ la probabilité du succès et $\mathrm X$ la variable aléatoire qui est égale à $1$ en cas de succès et $0$ sinon.

On dit que $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

Son espérance est $\mathrm{E(X)} = p$.

Loi binomiale

Soit $\rm E$ une épreuve de Bernoulli et $p$ la probabilité du succès.

On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $\rm E$ et on note $\rm X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre $0$ et $n$).

On dit que $\rm X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $\mathrm B(n~; p)$).

Pour tout $k \in [0~ ; n]$, on a :

$\displaystyle\mathrm{P(X} = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n - k}$.

Son espérance est $\mathrm{E(X)} = np$.