Rotation et homothétie

Définition

Une rotation est définie par un point $\rm O$ du plan, qui est le centre de la rotation, et un angle de mesure $\alpha^{\circ}$ ($\alpha$ un nombre positif) avec un sens de rotation.

Le sens des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect et son sens inverse, sens direct.

Le point $\rm A’$, qui est l’image d’un point $\rm A$ du plan par cette rotation dont un sens est donné, est tel que :

• $\rm OA’ = OA$ ;
• $\rm \widehat{AOA’} = \alpha^{\circ}$.

Exemple :

Sur la figure ci-dessous, le point $\rm A’$ est l’image du point $\rm A$ par la rotation de centre $\rm O$ et d’angle $60^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

$\rm OA’ = OA$ et $\rm \widehat{AOA’} = 60^{\circ}$.

Pour le placer, on utilise un compas pour tracer un arc de cercle de centre $\rm O$ et de rayon $\rm OA$ (car $\rm OA’ = OA$) et un rapporteur pour tracer la demi-droite $\rm [OA’)$ telle que $\rm \widehat{AOA’} = 60^{\circ}$, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Le point $\rm A’$ est situé à l’intersection de l’arc de cercle et de la demi-droite $\rm [OA’)$.

Propriétés

Une rotation :

• conserve les distances : un segment et son image ont la même longueur ;
• conserve l’alignement : l’image d’une droite est une droite ;
• conserve les angles : un angle et son image ont la même mesure ;
• conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.  

Définition

Une homothétie est définie par un point $\rm O$, qui est le centre de l’homothétie, et un rapport $k$ non nul.

Le point $\rm M’$, qui est l’image d’un point $\rm M$ du plan par cette homothétie, est tel que:

• $\mathrm{OM’} = k \times \mathrm{OM}$ si $k>0$ et $\mathrm{OM’} = -k \times \mathrm{OM}$ si $k<0$ ;
• Si $k > 0$, le point $\rm M’$ est sur la demi-droite $\rm [OM)$ ;
• Si $k < 0$, le point $\rm M’$ est sur la demi-droite $\rm [MO)$.

Exemple:

Dans les 2 configurations de Thalès, un des triangles est l’image de l’autre triangle par une homothétie.

Propriétés

Une homothétie :

• conserve l’alignement : l’image d’une droite est une droite ;
• conserve les angles : un angle et son image ont la même mesure ;
• conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
• multiplie les longueurs par $\mid k\mid$.