I. Application affine

Définition

Soit a et b deux nombres fixés.
On appelle application affine de coefficient a et de terme constant b, la correspondance f qui à chaque nombre réel x associe le nombre réel ax+b.
On note : f:xax+b.
ax+b est l'image de x par f et on note f(x)=ax+b.
Si f(x)=y on dit que : y est l'image de x par f.
Dans l'écriture ax+b,a s'appelle le coefficient ; b s'appelle le terme constant.

Exemple :

La correspondance f : x2x+1 est une application affine.

  • 2 est le coefficient et 1 est le terme constant.

Cas particuliers :

  • Si a=0 alors f(x)=b. L'application f est constante.
  • Si b=0 alors f(x)=ax. L'application f est linéaire.

Représentation graphique

La représentation graphique de l'application affine f:RR
xf(x)=ax+b est une droite passant par M(0 ;b) et de coefficient directeur a.

Variation

L'application affine f:RR

xf(x)=ax+b est :

  • croissante si a>0
  • décroissante si a<0
  • constante si a=0

Détermination d'une application affine

Exemple :

Soit f une application affine telle que : f(2)=3 et f(4)=1.
Détermine l'expression de f(x) pour tout nombre réel x.
Cela revient à déterminer les nombres réels a et b tels que f(x)=ax+b. On sait que :
f(2)=3. Donc : 2a+b=3
f(4)=1. Donc : 4a+b=1
On obtient le système de deux équations à deux inconnues suivant :
{2a+b=3(1)4a+b=1(2)
Nous allons résoudre ce système par substitution.
L'égalité (1) : 2a+b=3 équivaut à b=2a3(3)
Ainsi en remplaçant b par (2a3) dans l'égalité (2) on a :
4a+(2a3)=1

4a+(2a3)=1
équivaut à 2a3=1
équivaut à 2a=4
équivaut à a=2
On a donc a=2.

On obtient b en remplaçant a par sa valeur dans l'égalité (3) :
b=2a3b=2×23b=7Donc : f(x)=2x7.

II. Application affine par intervalles

Soit f une application définie par f(x)=|3x+6|

Montrons que f est une application affine par intervalle

On a 3x+6=0 si, et seulement si, x=2

Si x2, alors f(x)=3x+6
Si x2, alors f(x)=3x6
D'où, f est une application affine par intervalle.

Représentation graphique

Représentons graphiquement f(x)=|3x+6|

Représenter graphiquement f c'est représenter :

(D1):y=3x+6 pour x2 et (D2):y=3x6 pour x1
Ainsi, on a :
Si x=1, alors y=3, on obtient le point A et si x=2, alors y=0, on obtient le point B.
Si x=3, alors y=3, on obtient le point C.

Ainsi, on obtient la courbe suivante :