I. Application affine
Définition
Soit $a$ et $b$ deux nombres fixés.
On appelle application affine de coefficient $a$ et de terme constant $b$, la correspondance $f$ qui à chaque nombre réel $x$ associe le nombre réel $a x+b$.
On note : $f: x \mapsto a x+b$.
$a x+b$ est l'image de $x$ par $f$ et on note $f(x)=a x+b$.
Si $f(x)=y$ on dit que : $y$ est l'image de $x$ par $f$.
Dans l'écriture $a x+b, a$ s'appelle le coefficient ; $b$ s'appelle le terme constant.
Exemple :
La correspondance $f$ : $x \mapsto 2 x+1$ est une application affine.
- $2$ est le coefficient et $1$ est le terme constant.
Cas particuliers :
- Si $a=0$ alors $f(x) = b$. L'application $f$ est constante.
- Si $b=0$ alors $f(x) = ax$. L'application $\mathrm{f}$ est linéaire.
Représentation graphique
La représentation graphique de l'application affine $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \rightarrow f(x)=a x+b$ est une droite passant par $M(0~;b)$ et de coefficient directeur $a$.
Variation
L'application affine $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$x \rightarrow f(x)=a x+b$ est :
- croissante si $a > 0$
- décroissante si $a<0$
- constante si $a=0$
Détermination d'une application affine
Exemple :
Soit $f$ une application affine telle que : $f(2)=-3$ et $f(4)=1$.
Détermine l'expression de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$.
Cela revient à déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a x+b$. On sait que :
$f(2)=-3$. Donc : $2 a+b=-3$
$f(4)=1$. Donc : $4 a+b=1$
On obtient le système de deux équations à deux inconnues suivant :
$\left\{\begin{array}{ll}
2 a+b=-3&(1) \\
4 a+b=1&(2)
\end{array}\right.$
Nous allons résoudre ce système par substitution.
L'égalité $(1)$ : $2 a+b=-3$ équivaut à $b=-2 a-3 \quad (3)$
Ainsi en remplaçant $b$ par $(-2a-3)$ dans l'égalité $(2)$ on a :
$4 a+(-2 a-3)=1$
$4 a+(-2 a-3)=1$
équivaut à $2 a-3=1$
équivaut à $2a=4$
équivaut à $a=2$
On a donc $a=2$.
On obtient $b$ en remplaçant $a$ par sa valeur dans l'égalité $(3)$ :
$\begin{array}{ll}
&b=-2 a-3 \\
&b=-2 \times 2-3 \\
&b=-7\\
&\text{Donc : } f(x)=2 x-7.
\end{array}$
II. Application affine par intervalles
Soit $f$ une application définie par $f(x)=|-3 x+6|$
Montrons que $f$ est une application affine par intervalle
On a $-3 x+6=0$ si, et seulement si, $x=2$
Si $x \leq 2$, alors $f(x)=-3 x+6$
Si $x \geq 2$, alors $f(x)=3 x-6$
D'où, $f$ est une application affine par intervalle.
Représentation graphique
Représentons graphiquement $f(x)=|-3 x+6|$
Représenter graphiquement $f$ c'est représenter :
$\left(D_1\right) : y=-3 x+6$ pour $x \leq 2$ et $\left(D_2\right) : y=3 x-6$ pour $x \geq 1$
Ainsi, on a :
Si $x=1$, alors $y = 3$, on obtient le point A et si $x=2$, alors $y=0$, on obtient le point B.
Si $x = 3$, alors $y = 3$, on obtient le point C.
Ainsi, on obtient la courbe suivante :
