I. Application affine
Définition
Soit a et b deux nombres fixés.
On appelle application affine de coefficient a et de terme constant b, la correspondance f qui à chaque nombre réel x associe le nombre réel ax+b.
On note : f:x↦ax+b.
ax+b est l'image de x par f et on note f(x)=ax+b.
Si f(x)=y on dit que : y est l'image de x par f.
Dans l'écriture ax+b,a s'appelle le coefficient ; b s'appelle le terme constant.
Exemple :
La correspondance f : x↦2x+1 est une application affine.
- 2 est le coefficient et 1 est le terme constant.
Cas particuliers :
- Si a=0 alors f(x)=b. L'application f est constante.
- Si b=0 alors f(x)=ax. L'application f est linéaire.
Représentation graphique
La représentation graphique de l'application affine f:R→R
x→f(x)=ax+b est une droite passant par M(0 ;b) et de coefficient directeur a.
Variation
L'application affine f:R→R
x→f(x)=ax+b est :
- croissante si a>0
- décroissante si a<0
- constante si a=0
Détermination d'une application affine
Exemple :
Soit f une application affine telle que : f(2)=−3 et f(4)=1.
Détermine l'expression de f(x) pour tout nombre réel x.
Cela revient à déterminer les nombres réels a et b tels que f(x)=ax+b. On sait que :
f(2)=−3. Donc : 2a+b=−3
f(4)=1. Donc : 4a+b=1
On obtient le système de deux équations à deux inconnues suivant :
{2a+b=−3(1)4a+b=1(2)
Nous allons résoudre ce système par substitution.
L'égalité (1) : 2a+b=−3 équivaut à b=−2a−3(3)
Ainsi en remplaçant b par (−2a−3) dans l'égalité (2) on a :
4a+(−2a−3)=1
4a+(−2a−3)=1
équivaut à 2a−3=1
équivaut à 2a=4
équivaut à a=2
On a donc a=2.
On obtient b en remplaçant a par sa valeur dans l'égalité (3) :
b=−2a−3b=−2×2−3b=−7Donc : f(x)=2x−7.
II. Application affine par intervalles
Soit f une application définie par f(x)=|−3x+6|
Montrons que f est une application affine par intervalle
On a −3x+6=0 si, et seulement si, x=2
Si x≤2, alors f(x)=−3x+6
Si x≥2, alors f(x)=3x−6
D'où, f est une application affine par intervalle.
Représentation graphique
Représentons graphiquement f(x)=|−3x+6|
Représenter graphiquement f c'est représenter :
(D1):y=−3x+6 pour x≤2 et (D2):y=3x−6 pour x≥1
Ainsi, on a :
Si x=1, alors y=3, on obtient le point A et si x=2, alors y=0, on obtient le point B.
Si x=3, alors y=3, on obtient le point C.
Ainsi, on obtient la courbe suivante :