Écritures littérales 2

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

$(a - b)(a + b) = {a}^2 - {b}^2$.

Cette formule permet de développer une expression, mais elle permet aussi de factoriser une expression qui est la différence de deux nombres ou expressions au carré.

Développement :

Formule de simple distributivité

Pour tous les nombres $a, b$ et $k$ :

\[k\times (a + b) = k \times a + k \times b.\]

\[(a + b) \times k = a \times k + b \times k.\]

Formule de double distributivité

Pour tous les nombres $a, b, c$ et $d$ :

\[(a + b)\times(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d.\]

Lorsque l’on a rangé les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a ordonné et réduit l’expression.

Factorisation :

Factoriser une expression, c’est transformer une somme en un produit de facteurs.

On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité dans l'autre sens.

Équation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut trouver la ou les valeurs pour laquelle l’égalité entre les deux membres est vraie.

Équation produit

Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété « un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul ».

$(ax + b)\times(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.

Les solutions de l'équation produit sont donc les solutions de chacune de ces équations du premier degré à une inconnue.

Définition

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\displaystyle \sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$.
Par définition, $\displaystyle \sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.

Équation ${x}^2 = a$, $a \geq 0$

Les solutions de l’équation ${x}^2 = a$ ($a$ positif) sont $\displaystyle \sqrt{a}$ et $\displaystyle - \sqrt{a}$.