I. Équations à 2 inconnues

Une équation à 2 inconnues est de la forme $ax+b y+c=0$  $(a$ ; $b$ et $c$ sont des réels$)$.

Recherche des solutions d'une équation du 1^er degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$

Méthode :

Pour trouver un couple de réels solution d'une équation du 1^er degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, on attribue une valeur arbitraire à l'une des inconnues et on détermine l'autre.

Exemple :
Dans $\rm(E_1)$ : $y=-2 x+6$, si $x=0$ alors $y=-2 \times 0+6$ donc $y=6$

Le couple de points $(0~ ; 6)$ est une solution de $\rm(E_1)$
Si $x=2$, alors $y = -2 \times 2 +6$ donc $y = 2$ 

Le couple de réels $(2 ~; 2)$ est une solution de $\rm(E_1)$.

Représentation graphique des solutions d'une d'équation dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$

On sait que les coupes de réles $(0~ ; 6)$ ; $(1~ ; 4)$ et $(2~ ; 2)$ sont solutions de l'équation $(\mathrm E) : 2 x+y=6$.

Dans le plan muni d'un repère $\rm (O, I, J)$ plaçons les points $\rm A(0~ ; 6)$ ; $\rm B(1~ ; 4)$ et $\rm C(2~ ; 2)$.

On remarque que les points $\rm A(0~ ; 6)$ ; $\rm B(1~ ; 4)$ et $\rm C(2~ ; 2)$ sont alignés.

Si une droite $\rm (D)$ passe par les points $\rm A, B$ et $\rm C$, on dit que la droite $\rm (D)$ d'équation $(\mathrm E): 2 x+y=6$ est une équation de la droite $\rm (D)$.

II. Systèmes d’équations à 2 inconnues

II s'agit des systèmes du type :

$\left\{\begin{array}{l} a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} \end{array}\right.$

$a$, $b$, $c$, $a^{\prime}$, $b^{\prime}$ et $c^{\prime}$ sont des réels.
$x$ et $y$ sont les inconnues.
Pour résoudre un tel système, 4 méthodes sont possibles :

Méthode de substitution

Soit le système : 

Dans $\rm (D)$ : $3 x-4 y-5=0$ exprimons $y$ en fonction de $x$ :
$\rm (D_1)$ : $y=\dfrac{3}{4} x-\dfrac{5}{4}$

Dans $\rm(D^{\prime})$ : $2 x+5 y-11=0$, remplaçons $x$ par son expression :

Déterminons la valeur de $y$

On vérifie que le couple $(3 ~; 1)$ est solution de $\rm (D)$ et $\rm (D')$ alors la solution du système est le coupe $(3 ~; 1)$.

La méthode de substitution consiste à exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans l'une des deux équations et de la remplacer dans l'autre afin d'obtenir une équation du 1^er degré à une inconnue.

Méthode de combinaison ou d'addition

Soit le système :

$\left\{\begin{array}{l} 3 x-4 y-5=0 \\ 2 x+5 y-11=0 \end{array}\right.$

$\checkmark$ Élimination de $x$ :

$\left\{\begin{array}{l} (3 x-4 y-5=0) \times (2)\\ (2 x+5 y-11=0) \times (-3) \end{array}\right.$

On obtient :

$\left\{\begin{array}{l} 6 x-8 y-10=0 \\ -6 x-15 y+33=0 \end{array}\right.$

En additionnant membre à membre, on obtient :
$0-23 y+23=0$
$23 y=23$
$y=1$

$\checkmark$ Élimination de $y$ :

$\left\{\begin{array}{l} (3 x-4 y-5=0) \times (5)\\ (2 x+5 y-11=0) \times (4) \end{array}\right.$

On obtient :

$\left\{\begin{array}{l} 15 x-20 y-25=0 \\ 8 x+20 y-44=0 \end{array}\right.$

En additionnant membre à membre , on obtient :

$23 x+0-69=0$
$23 x=69$
$x=3$

On vérifie que le couple $(3~ ; 1)$ est solution de $\rm (D)$ et $\rm (D')$ alors le couple $(3~ ; 1)$ est la solution du système.

Pour résoudre un système par combinaison :

1. On choisit l'inconnue que l'on veut éliminer, par exemple $x$.
2. On multiplie les deux membres de l'une des équations (ou les deux équations, si nécessaire) par des coefficients de sorte que la variable $x$ ait des coefficients opposés.
3. On additionne membre à membre les deux nouvelles équations obtenues en 2. et on obtient une nouvelle équation du premier degré à une inconnue $y$.
4. On résout l'équation en 3., et on trouve la valeur de y.
5. On élimine la deuxième inconnue en suivant les étapes énoncées précédemment.
6. On donne la solution du système.

Méthode graphique

Pour résoudre graphiquement le système : $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$, on trace les droites $\rm (D)$ et $\rm (D')$ d'équations respectives $x+2 y=3$ et $2 x-y=1$.
$\rm (D)$ et $\rm (D^{\prime})$ se coupent au point $\rm A$ de coordonnées $(1 ~; 1)$.

Donc le couple $(1~ ; 1)$ est la solution du système.

Méthode de comparaison

On écrit les deux équations sous forme fonctionnelle :
$2 x+3 y=4$ donne $y=\dfrac{-2}{3}x + \dfrac{4}{3}$ 
$5 x+7=7$ donne $y=\dfrac{-5}{6} x+\dfrac{7}{6}$

On compare :
$\begin{array}{l} -(2 / 3) x+4 / 3=-(5 / 6) x+7 / 6 \\ (5 / 6) x-(2 / 3) x=+7 / 6-4 / 3 \\ (5 / 6) x-(2 / 3) x=+7 / 6-4 / 3 \\ (1 / 6) x=-1 / 6 \\ x=-1 \end{array}$

En remplaçant dans l'une ou l'autre des équations du système, on trouve la valeur de $y$.
$\begin{array}{l} y=-(2 / 3)(-1)+4 / 3=2 / 3+4 / 3=2 \\ y=2 \end{array}$

$\color{orangered}{\text{Le couple solution est } x=-1, y=+2}$