I. Inéquations à 2 inconnues
Soient a, b et c des nombres réels tels que (a ;b)≠(0 ;0).
- On appelle inéquation du premier degré dans R×R toute inéquation d'un des types : ax+by+c>0 ; ax+by+c<0 ; ax+by+c≥0 ou ax+by+c≤0.
- Un couple (x1 ;y1) de nombres réels est solution d'une des inéquations, signifie que x1 et y1 vérifient cette inéquation.
Exemple : x−y+3<0 est une inéquation du premier degré dans R×R.
- Pour x=1 et y=5, on a : 1−5+3=−1.
−1<0 est vrai, donc le couple (1 ;5) est solution de l'inéquation. - Pour x=0 et y=0, on a 0−0+3=3.
3<0 est faux. Donc (0 ;0) n'est pas solution de l'inéquation.
Dans le plan muni d'un repère (O,i,j), on considère la droite (D) d'équation : ax+by+c=0.
(D) partage le plan en deux demi-plans :
- L'un de ces demi-plans contient tous les points dont les coordonnées vérifient ax+by+c>0
- L'autre demi-plan contient tous les points dont les coordonnées vérifient ax+by+c<0
L'ensemble des solutions d'une inéquation est donc l'ensemble des couples de coordonnées des points d'un demi-plan.
Exemple :
L'ensemble des solutions de l'inéquation : x−y+3<0 est le demi-plan, de bord la droite (D) d'équation : x−y+3=0, ne contenant pas le point 0(0 ;0).
II. Systèmes de 2 inéquations à 2 inconnues
Présentation
{2x−y+1<0−x+y−3<0 est un système d'inéquation du 1er degré dans R×R d'inconnues x et y.
Répresentation graphique
Le plan est muni d'un repère (O,i,j).
(D) est la droite d'équation : (D) : 2x−y+1=0
(D′) est la droite d'équation : (D′) : −x+y−3=0
(D):2x−y+1=0
Si x=0, alors on a 2×0−y+1=0
Donc y=1
On a le point A(0 ;1)
Si x=1, on a 2×1−y+1=0
Donc y=3
On a le point B(1 ;3)
(D′):−x+y−3=0
Si x=0 alors on a −0+y−3=0
y=3
On a le point C(0 ;3)
Si x=1 alors on a 1+y−3=0
Donc y=2
On a le point D(−1 ;2)
Remarque :
Cette intersection est la représentation graphique de l'ensemble des solutions du système.