I. Définition
Étant donné un nombre réel positif a, il existe un unique nombre réel positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est appelé racine carrée de a, et noté √a.
L'expression « √a » se lit « racine carrée de a ».
Le signe √ s'appelle le radical.
a s'appelle le radicande.
II. Propriétés
- pour tous réels positifs a et b, √a×b=√a×√b.
- pour tous réels positifs a et b (b≠0), √ab=√a√b.
- pour tout réel positif a, (√a)2=a.
- pour tout nombre réel positif a, √(a)2=|a|.
III. Expression conjuguée
L'expression conjuguée de √a+√b est √a−√b.
L'expression conjuguée de √a−√b est √a+√b.
L’expression conjuguée sert à rendre rationnel le dénominateur irrationnel d’une fraction comportant une racine carrée.
IV. Comparaisons
Racine carrée et ordre
La racine carré conserve l'ordre :
a et b deux réels positifs, si a≤b alors √a≤√b.
Égalité
Pour tous réels positifs a et b,a=b si et seulement si √a=√b.
Règle de comparaison
Pour comparer deux réels positifs a et b, il suffit de comparer leurs carrés.
V. Valeur absolue d'un réel
Quel que soit le réel a :
- |a|=a si a est positif.
- |a|=−a si a est négatif.
Quels que soient les réels a et b :
- |a×b|=|a|×|b|
- |ab|=|a||b|