I. Coordonnées d'un vecteur

Définition

(O,ı,ȷ) un repère du plan.
Soient A(xA ;yA) et B(xB ;yB) deux points de ce plan.
Le vecteur AB a pour coordonnées (xBxAyByA).
On note AB(xBxAyByA).

Propriétés

Soient u(xy) et v(xy) deux vecteurs.

  • Pour tout réel k, le vecteur k.u a pour coordonnées (kxky)
  • u=v si et seulement si x=x et y=y.
  • u+v a pour coordonnées (x+xy+y)
  • Pour tout vecteur u tel que u=xı+yȷ on a : u(xy).
  • Pour tout point M du plan, si OM=x.ı+y.ȷ alors M(x ;y).

Vecteurs colinéaires et vecteurs orthogonaux

Le plan est muni d'un repère (O,i,j).
AB(xy) et CD(xy) sont colinéaires équivaut à : xyxy=0
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j).
AB et CD sont deux vecteurs non nuls :
AB(xy) et CD(xy) sont orthogonaux équivaut à : xx+yy=0

II. Calcul de la distance entre 2 points

Le plan est muni d'un repère (O,i,j).
A et B sont des points du plan.
Si A(xA ;yA) et B(xB ;yB) alors AB=(xBxA)2+(yByA)2

Exemple :
Le plan est muni d'un repère (O,i,j).
Soit A(32) et B(22) deux points dans un repère orthonormé (O,i,j).
Calculer la distance AB.

La distance AB est égale à :
AB=(23)2+(22)2=1+16=17

III. Équations de droite

Définition

Soient a, b et c des nombres réels.
Dans le plan muni d'un repère :

  • Toute droite a une équation de la forme ax+by+c=0a et b sont des réels tous non nuls.
  • Toute équation de la forme ax+by+c=0, où a et b sont des réels tous non nuls, est une équation de droite.

Dans le plan muni du repère (O,i,j), on donne une droite (D) qui a pour équation ax+by+c=0
On peut transformer cette équation sous la forme y=ax+b. avec a et b sont des réels non nuls).

Dans ces conditions :

  • a est le coefficient directeur de la droite (D).
  • b est l'ordonnée à l'origine de la droite (D).

Le plan est muni du repère (O,i,j). La droite (D) passe par les points A(xA ;yA) et B(xA ;yB)
Le coefficient directeur a de (D) est donné par la formule : a=yByAxBxA.

Équation de droite passant par 2 points

Dans le plan muni d'un repère (O ;i ;j), on donne les points A(4 ;3) et B(6 ;1).
Déterminons une équation de la droite (AB).
Considérons un point M du plan tel que M(x ;y).
On sait que le point M appartient à (AB) équivaut à AM et AB sont colinéaires.
On a : AM(x4y+3) et AB(24).
Le point M appartient à (AB) équivaut à : 4(x4)2(y+3)=0.
4x162y6=04x2y22=02xy11=0


2xy11=0 est une équation de la droite (AB).

Équation de droite passant par un point et parallèle à une droite donnée

Dans le plan muni du repère (O,i,j), on donne les points A(3 ;2) ; B(1 ;4) et C(2 ;1).
Déterminons une équation de la droite (D) passant par C et parallèle à (AB).
Considérons M un point du plan tel que M(x ;y).
On sait que M appartient à (D) équivaut à CM et AB sont colinéaires.
Or CM(x+2y1) et AB(46).
Le point M appartient à (D) équivaut à : 6(x+2)+4(y1)=0
6x12+4y4=0
6x+4y16=0
3x+2y8=0

3x+2y8=0 est une équation de la droite (D).

Équation de droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j), on donne E(1 ;3), F(2 ;6) et G(2 ;2). Déterminons une équation de la droite (D) passant par G et perpendiculaire à (EF). Considérons un point M du plan tel que M(x ;y).
On sait que M appartient à (D) équivaut à GM et EF sont orthogonaux.
Or GM(x2y+2) et EF(2163),EF(39).
D'où M appartient à (D) équivaut à : 3(x2)+(9)(y+2)=0
3x+69y18=0 
3x9y12=0
x+3y+4=0

x+3y+4=0 est une équation de la droite (D).

IV. Positions relatives de 2 droites

Droites parallèles

Le plan est muni du repère (O,i,j).
Les droites (D) et (D) ont pour coefficients directeurs respectifs a et a.
(D) //(D) équivaut à : a=a.

Droites perpendiculaires

Le plan est muni du repère orthonormé (O,i,j).
Les droites (D) et (D) ont pour coefficients directeurs respectifs a et a.
(D)D) équivaut à : a×a=1.