I. Coordonnées d'un vecteur
Définition
(O,→ı,→ȷ) un repère du plan.
Soient A(xA ;yA) et B(xB ;yB) deux points de ce plan.
Le vecteur →AB a pour coordonnées (xB−xAyB−yA).
On note →AB(xB−xAyB−yA).
Propriétés
Soient →u(xy) et →v(x′y′) deux vecteurs.
- Pour tout réel k, le vecteur k.→u a pour coordonnées (kxky)
- →u=→v si et seulement si x=x′ et y=y′.
- →u+→v a pour coordonnées (x+x′y+y′)
- Pour tout vecteur →u tel que →u=x→ı+y→ȷ on a : →u(xy).
- Pour tout point M du plan, si →OM=x.→ı+y.→ȷ alors M(x ;y).
Vecteurs colinéaires et vecteurs orthogonaux
Le plan est muni d'un repère (O,→i,→j).
→AB(xy) et →CD(x′y′) sont colinéaires équivaut à : xy′−x′y=0
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,→i,→j).
→AB et →CD sont deux vecteurs non nuls :
→AB(xy) et →CD(x′y′) sont orthogonaux équivaut à : xx′+yy′=0
II. Calcul de la distance entre 2 points
Le plan est muni d'un repère (O,→i,→j).
A et B sont des points du plan.
Si A(xA ;yA) et B(xB ;yB) alors AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
Exemple :
Le plan est muni d'un repère (O,→i,→j).
Soit A(32) et B(2−2) deux points dans un repère orthonormé (O,→i,→j).
Calculer la distance AB.
La distance AB est égale à :
AB=√(2−3)2+(−2−2)2=√1+16=√17
III. Équations de droite
Définition
Soient a, b et c des nombres réels.
Dans le plan muni d'un repère :
- Toute droite a une équation de la forme ax+by+c=0 où a et b sont des réels tous non nuls.
- Toute équation de la forme ax+by+c=0, où a et b sont des réels tous non nuls, est une équation de droite.
Dans le plan muni du repère (O,→i,→j), on donne une droite (D) qui a pour équation ax+by+c=0
On peut transformer cette équation sous la forme y=ax+b. avec a et b sont des réels non nuls).
Dans ces conditions :
- a est le coefficient directeur de la droite (D).
- b est l'ordonnée à l'origine de la droite (D).
Le plan est muni du repère (O,→i,→j). La droite (D) passe par les points A(xA ;yA) et B(xA ;yB)
Le coefficient directeur a de (D) est donné par la formule : a=yB−yAxB−xA.
Équation de droite passant par 2 points
Dans le plan muni d'un repère (O ;→i ;→j), on donne les points A(4 ;−3) et B(6 ;1).
Déterminons une équation de la droite (AB).
Considérons un point M du plan tel que M(x ;y).
On sait que le point M appartient à (AB) équivaut à →AM et →AB sont colinéaires.
On a : →AM(x−4y+3) et →AB(24).
Le point M appartient à (AB) équivaut à : 4(x−4)−2(y+3)=0.
4x−16−2y−6=04x−2y−22=02x−y−11=0
2x−y−11=0 est une équation de la droite (AB).
Équation de droite passant par un point et parallèle à une droite donnée
Dans le plan muni du repère (O,→i,→j), on donne les points A(3 ;2) ; B(−1 ;−4) et C(−2 ;1).
Déterminons une équation de la droite (D) passant par C et parallèle à (AB).
Considérons M un point du plan tel que M(x ;y).
On sait que M appartient à (D) équivaut à →CM et →AB sont colinéaires.
Or →CM(x+2y−1) et →AB(−4−6).
Le point M appartient à (D) équivaut à : −6(x+2)+4(y−1)=0
−6x−12+4y−4=0
−6x+4y−16=0
−3x+2y−8=0
−3x+2y−8=0 est une équation de la droite (D).
Équation de droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,→i,→j), on donne E(1 ;3), F(−2 ;−6) et G(2 ;−2). Déterminons une équation de la droite (D) passant par G et perpendiculaire à (EF). Considérons un point M du plan tel que M(x ;y).
On sait que M appartient à (D) équivaut à →GM et →EF sont orthogonaux.
Or →GM(x−2y+2) et →EF(−2−1−6−3),→EF(−3−9).
D'où M appartient à (D) équivaut à : −3(x−2)+(−9)(y+2)=0
−3x+6−9y−18=0
−3x−9y−12=0
x+3y+4=0
x+3y+4=0 est une équation de la droite (D).
IV. Positions relatives de 2 droites
Droites parallèles
Le plan est muni du repère (O,→i,→j).
Les droites (D) et (D′) ont pour coefficients directeurs respectifs a et a′.
(D) //(D′) équivaut à : a=a′.
Droites perpendiculaires
Le plan est muni du repère orthonormé (O,→i,→j).
Les droites (D) et (D′) ont pour coefficients directeurs respectifs a et a′.
(D)⊥D′) équivaut à : a×a′=−1.