I. Classes et classe modale
Exemple : Regroupons la série de notes suivantes en classe d'amplitude 4 : 0 ; 11 ; 8 ; 14 ; 17 ; 15 ; 3 ; 5 ; 7 ; 6 ; 7 ; 13 ; 5 ; 12.
Le résultat est consigné dans le tableau ci-dessous :
La classe modale est la classe qui a l'effectif le plus élevé (il peut avoir y plusieurs classes modales). Dans le tableau ci-dessus, il s'agit de la classe [4 ;8[.
II. Effectifs cumulés et fréquences cumulées
Soit une série statistique à caractère quantitatif.
- On appelle effectif cumulé croissant d'une modalité n, la somme des effectifs de chaque modalité inférieure ou égale à n.
- On appelle fréquence cumulée croissante d'une modalité n, le quotient de l'effectif cumulé croissant de la modalité n par l'effectif total.
On la définit aussi comme étant la somme des fréquences de toutes les modalités inférieures ou égales à cette modalité.
Exemple :
III. Moyenne
La moyenne d'une série statistique regroupée en classes est égale à la somme des produits du centre de chaque intervalle par son effectif, divisée par l'effectif total.
Exemple :
La moyenne est M=1,55×13+1,65×20+1,75×1851=84,6551=1,65980…≈1,66
(résultat arrondi à l'ordre 2)
La taille moyenne des élèves de cette classe est 1,66 m.
IV. Médiane
On appelle médiane d'une série statistique dont les valeurs sont ordonnées, tout nombre qui partage cette série en deux sous séries de même effectif :
- un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ;
- un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Remarque 1
Si l'effectif total N d'une série statistique est un nombre impair, alors la médiane est la modalité de rang N+12 sur la liste ordonnée des modalités de cette série.
Exemple 1 :
On donne la série statistique suivante : 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15.
Déterminons la médiane de cette série.
L'effectif total est 11 (un nombre impair), donc la position de la médiane sur la liste ordonnée est 11+12=122=6
La médiane est la modalité de rang 6 sur la liste ordonnée : c'est 9.
Remarque 2
- Si l'effectif total N d'une série statistique est un nombre pair, alors tout nombre compris entre la N2 ième valeur et la (N2+1)ième valeur peut être considéré comme une médiane de la série.
- En pratique, la médiane est généralement la moyenne de ces deux valeurs.
Exemple 2 :
On donne la série statistique suivante : 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12.
Déterminons la médiane de cette série.
L'effectif total 6 est un nombre pair, donc la médiane est située entre la 3e et la 4e valeur de la liste ordonnée, c'est-à-dire entre 7 et 8. On la détermine en établissant la moyenne de ces deux valeurs. Donc la médiane cherchée est : 7+82=7,5.
Pour déterminer la médiane d'une série statistique regroupée en classes, on peut procéder par deux méthodes :
✓ Méthode par interpolation linéaire :
Exemple :
Désignons par Me, la taille médiane :
Me est la taille dont l'effectif cumulé croissant est égal à la moitié de l'effectif total, à savoir (5002=250) donc Me∈[165 ;175[.
On utilise le tableau de correspondance ci-dessous pour déterminer la médiane 165Me17584250298
On a Me−165250−84=175298Me−165166=10214Me=172,75 cm
✓ Méthode graphique (Polygone des Effectifs Cumulés Croissants)
Exemple :
Utilisons le tableau des Effectifs Cumulés Croissants pour tracer le Polygone des Effectifs Cumulés Croissants.