I. Classes et classe modale

Exemple : Regroupons la série de notes suivantes en classe d'amplitude $4$ : $0$ ; $11$ ; $8$ ; $14$ ; $17$ ; $15$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $6$ ; $7$ ; $13$ ; $5$ ; $12$.

Le résultat est consigné dans le tableau ci-dessous :

La classe modale est la classe qui a l'effectif le plus élevé (il peut avoir y plusieurs classes modales). Dans le tableau ci-dessus, il s'agit de la classe $[4~ ; 8[$.

II. Effectifs cumulés et fréquences cumulées

Soit une série statistique à caractère quantitatif.

• On appelle effectif cumulé croissant d'une modalité $n$, la somme des effectifs de chaque modalité inférieure ou égale à $n$.
• On appelle fréquence cumulée croissante d'une modalité $n$, le quotient de l'effectif cumulé croissant de la modalité $n$ par l'effectif total.
  On la définit aussi comme étant la somme des fréquences de toutes les modalités inférieures ou égales à cette modalité.

Exemple :

III. Moyenne

La moyenne d'une série statistique regroupée en classes est égale à la somme des produits du centre de chaque intervalle par son effectif, divisée par l'effectif total.

Exemple :

La moyenne est $\begin{array}{l}
\rm M & =\frac{1,55 \times 13+1,65 \times 20+1,75 \times 18}{51} \\
& =\dfrac{84,65}{51} \\
& =1,65980 \ldots \\
& \approx 1,66\end{array}$
(résultat arrondi à l'ordre 2)

La taille moyenne des élèves de cette classe est $1,66 \mathrm{~m}$.

IV. Médiane

On appelle médiane d'une série statistique dont les valeurs sont ordonnées, tout nombre qui partage cette série en deux sous séries de même effectif :

• un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ;
• un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Remarque 1

Si l'effectif total $\rm N$ d'une série statistique est un nombre impair, alors la médiane est la modalité de rang $\rm \dfrac{N+1}{2}$ sur la liste ordonnée des modalités de cette série.

Exemple 1 :

On donne la série statistique suivante : $2$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $12$ ; $13$ ; $14$ ; $15$.
Déterminons la médiane de cette série.
L'effectif total est $11$ (un nombre impair), donc la position de la médiane sur la liste ordonnée est $\dfrac{11+1}{2}=\dfrac{12}{2}=6$
La médiane est la modalité de rang 6 sur la liste ordonnée : c'est $9$.

Remarque 2

• Si l'effectif total $\mathrm{N}$ d'une série statistique est un nombre pair, alors tout nombre compris entre la $\dfrac{\rm N}{2}$ ième valeur et la $\left(\dfrac{\rm N}{2}+1\right)^{\text{ième}}$ valeur peut être considéré comme une médiane de la série.
• En pratique, la médiane est généralement la moyenne de ces deux valeurs.

Exemple 2 :

On donne la série statistique suivante : $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $12$.
Déterminons la médiane de cette série.
L'effectif total $6$ est un nombre pair, donc la médiane est située entre la 3^e et la 4^e valeur de la liste ordonnée, c'est-à-dire entre $7$ et $8$. On la détermine en établissant la moyenne de ces deux valeurs. Donc la médiane cherchée est : $\dfrac{7+8}{2}=7,5$.

Pour déterminer la médiane d'une série statistique regroupée en classes, on peut procéder par deux méthodes :
$\checkmark$ Méthode par interpolation linéaire :
Exemple :
Désignons par $\rm Me$, la taille médiane :
$\rm Me$ est la taille dont l'effectif cumulé croissant est égal à la moitié de l'effectif total, à savoir $\left(\dfrac{500}{2}=250\right)$ donc $\rm Me \in[165~ ; 175[$.
On utilise le tableau de correspondance ci-dessous pour déterminer la médiane $\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
165 & \rm M e & 175 \\
\hline
84 & 250 & 298 \\
\hline
\end{array}$
On a $\begin{array}{l}
\rm\dfrac{M e-165}{250-84}=\dfrac{175}{298} \\
\rm\dfrac{Me-165}{166}=\dfrac{10}{214} \\
\rm Me=172,75~cm
\end{array}$
$\checkmark$ Méthode graphique (Polygone des Effectifs Cumulés Croissants)
Exemple :
Utilisons le tableau des Effectifs Cumulés Croissants pour tracer le Polygone des Effectifs Cumulés Croissants.