I. Addition vectorielle

A, B et C sont trois points du plan. On appelle somme des vecteurs →AB et →BC, le vecteur →AC.

On note : →AB+→BC=→AC.
Cette égalité est appelée égalité de Chasles

Vecteurs opposés

A, B et C sont trois points du plan.
On a : →AB+→BA=→AA=→0
On dit que →AB et →BA sont des vecteurs opposés. On note →BA=−→AB

II. Multiplication d'un vecteur par un nombre

Définition

On appelle produit du vecteur non nul →AB par le nombre réel non nul k, le vecteur →MN.

  • (AB) // (MN) ont la même direction ;
  • →AB et →MN :
    • ont le même sens si k>0 ;
    • ont des sens contraires si k<0
  • MN=|k|AB.

Remarque :

  • Le produit du vecteur nul par un nombre réel est le vecteur nul ;
  • Le produit du vecteur →AB par 0 est le vecteur nul →0 ;
  • Le produit du vecteur →AB par un nombre k non nul est noté : k→AB.

Exemples :

Les vecteurs →AB, 1.5→AB  ont la même direction.
→AB et 1,5→AB sont de même sens.
→AB et −3→AB sont de sens contraire.

Propriétés

A, B, C et D sont des points du plan. k et h sont des nombres réels. On a :

  • k(h→AB)=(kh)→AB.
  • k→AB+k→CD=k(→AB+→CD).
  • k→AB+h→AB=(k+h)→AB.
  • 1→AB=→AB.

III. Vecteurs de même direction et vecteurs colinéaires

Vecteurs de même direction

Propriété

A, B, C et D sont quatre points du plan.
Les vecteurs →AB et →CD ont la même direction signifie qu'on peut trouver un nombre réel k non nul tel que : →AB=k→CD

Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que des vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul.

Exemple :

→AB=3→CD équivaut à →AB et →CD ont même direction alors →AB et →CD sont colinéaires.

Propriété

A et B sont deux points du plan.
Un point M appartient à la droite (AB) équivaut à →AM et →AB sont colinéaires.

Conséquences

Vecteur et milieu

Si le point I est le milieu de [AB], alors →AB=2→AI

Si
Alors est le milieu de .

Points alignés

Si , et sont alignés
Alors

Si
Alors , et sont alignés

Droites parallèles

Si alors

Si alors et sont parallèles.