I. Addition vectorielle

A, B et C sont trois points du plan. On appelle somme des vecteurs AB et BC, le vecteur AC.

On note : AB+BC=AC.
Cette égalité est appelée égalité de Chasles

Vecteurs opposés

A, B et C sont trois points du plan.
On a : AB+BA=AA=0
On dit que AB et BA sont des vecteurs opposés. On note BA=AB

II. Multiplication d'un vecteur par un nombre

Définition

On appelle produit du vecteur non nul AB par le nombre réel non nul k, le vecteur MN.

  • (AB) // (MN) ont la même direction ;
  • AB et MN :
    • ont le même sens si k>0 ;
    • ont des sens contraires si k<0
  • MN=|k|AB.

Remarque :

  • Le produit du vecteur nul par un nombre réel est le vecteur nul ;
  • Le produit du vecteur AB par 0 est le vecteur nul 0 ;
  • Le produit du vecteur AB par un nombre k non nul est noté : kAB.

Exemples :

Les vecteurs AB, 1.5AB  ont la même direction.
AB et 1,5AB sont de même sens.
AB et 3AB sont de sens contraire.

Propriétés

A, B, C et D sont des points du plan. k et h sont des nombres réels. On a :

  • k(hAB)=(kh)AB.
  • kAB+kCD=k(AB+CD).
  • kAB+hAB=(k+h)AB.
  • 1AB=AB.

III. Vecteurs de même direction et vecteurs colinéaires

Vecteurs de même direction

Propriété

A, B, C et D sont quatre points du plan.
Les vecteurs AB et CD ont la même direction signifie qu'on peut trouver un nombre réel k non nul tel que : AB=kCD

Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que des vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul.

Exemple :

AB=3CD équivaut à AB et CD ont même direction alors AB et CD sont colinéaires.

Propriété

A et B sont deux points du plan.
Un point M appartient à la droite (AB) équivaut à AM et AB sont colinéaires.

Conséquences

Vecteur et milieu

Si le point I est le milieu de [AB], alors AB=2AI

Si AB=kAI
Alors I est le milieu de [AB].

Points alignés

Si A, B et C sont alignés
Alors AC=kABk0

Si AC=kABk0
Alors A, B et C sont alignés

Droites parallèles

Si (AB)//(CD) alors AB=kCDk0

Si AB=kCDk0 alors (AB) et (CD) sont parallèles.