I. Position relative de deux cercles.

Soit $2$ cercles $\rm C(O~ ; R)$ et $\rm C'(O' ~; R')$.

Cercles tangents extérieurement

Si la distance des centres est égale à la somme des rayons alors les cercles sont tangents extérieurement : $\rm OO' = R + R'$.

Cercles tangents intérieurement

Si la distance entre les $2$ centres est égale à la différence des rayons alors les cercles sont tangents intérieurement : $\rm OO'=R - R'$.

Cercles disjoints extérieurement

Si la distance des centres est supérieure à la somme des rayons alors les deux cercles sont disjoints extérieurement : $\rm OO' > R + R'$

Cercles disjoints intérieurement

Si la distance entre les deux centres est inférieure à la différence des rayons alors les deux cercles sont disjoints intérieurement : $\rm OO' \leq R -R'$.

Cercles sécants

Si la distance entre les deux centres est comprise entre la différence et la somme des rayons alors les deux cercles sont sécants. $\rm R-R' \leq OO' \leq R+R'$

II. Distance d'un point à une droite

Soit une droite $\rm (D)$ et $\rm M$, un point hors de $\rm (D)$. Soit $\mathrm{H}$ le pied de la perpendiculaire à $\rm (D)$ passant par $\rm M$.
Pour tout point $\mathrm{A}$ de $\rm (D)$, on a : $\rm MH \leq \mathrm{AM}$.
On dit que $\mathrm{AH}$ est la distance du point $\mathrm{M}$ à la droite $\rm (D)$.

III. Propriété de la bissectrice

Soit un angle $\widehat{\mathrm{HAK}}$ et un point $\rm A$.

Si $\rm M$ appartient à la bissectrice de $\widehat{\mathrm{HAK}}$ alors $\rm M$ est équidistant des côtés de l'angle.
Si $\rm M$ est équidistant des côtés de l'angle alors il appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathrm{HAK}}$.

IV. Positions relatives d'une droite et du cercle

Soit un cercle $\mathrm{C}(\mathrm{O}, \mathrm{R})$ et une droite $\rm (D)$. Soit $\mathrm{OH}=d$, la distance du point $\mathrm{O}$ à la droite $\rm (D)$.

Si la distance $d$ est supérieure au rayon $\mathrm{R}$ du cercle alors le cercle et la droite sont disjoints. $d > \mathrm{R}$.

Si la distance $d$ est inférieure au rayon $\mathrm{R}$ du cercle alors le cercle et la droite sont sécants. $d \leq R$.
Si la distance $d$ est égale au rayon $\mathrm{R}$ du cercle alors le cercle et la droite sont tangents. $d = \rm R$.

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