Divisibilité et nombres premiers

Définition

Un nombre entier naturel non nul $p$ est un nombre premier si et seulement il admet exactement $2$ diviseurs : $1$ et lui-même.

Exemple : les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19\ldots$

Propriétés 

• Il existe une infinité de nombres premiers.
• Un nombre entier naturel $n \geq 2$ se décompose de façon unique (à l’ordre des termes près) en un produit de facteurs premiers de la forme :

$n = p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \ldots \times p_k^{a_k}$ où, pour $i = 1$ à $k$, les $p_i$ sont des nombres premiers et les $a_i$  sont des entiers naturels non nuls.

Exemple : $10~500 = 2^2\times 3\times 5^3\times 7$