Les nombres rationnels

I. Définition et écritures

Un nombre rationnel est un nombre que l'on peut écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs.
L'ensemble des nombres rationnels se note $\rm Q$.
Quels que soient les entiers relatifs $a, b$, et $k$ :

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$
• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}$
• $\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$

II. Opérations dans $\mathbf{Q}$

Quels que soient les entiers relatifs $a ; b ; c$ et $d$ :

• $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}$ ; $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b}$ avec $b \neq 0$
• $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times d+c \times b}{b \times d}$ ; $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times d-c \times d}{b \times d}$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$
• $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}$
• $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ avec $b \neq 0$ ; $c \neq 0$ et $d \neq 0$

III. Valeur absolue

Soit $a$ un nombre rationnel :
$|a|=a$ si a est positif
$|a|=-a$ si a est négatif
Quels que soient les nombres rationnels a et $b$ :

• $|a \times b|=|a| \times |b|$
• $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$
• $|a|=|b|$ si et seulement $a=b$ ou $a=-b$

IV. Comparaison

Quels que soient les entiers relatifs $a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ :

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ si et seulement si $a \times d=b \times c$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$
• Si $a=b$ alors $a+c=b+c$ et $a-c=b-c$
• Si $a=b$ alors $a \times c=b \times c$ et $a \div c=b \div c$
• Si $a \leqslant b$ alors $a+c \leqslant b+c$ et $a-c \leqslant b-c$
• Si $a \leqslant b$ et $c$ positif alors $a \times c \leqslant b \times c$ et $a \div c \leqslant b \div c$
• Si $a \leqslant b$ et $c$ négatif alors $a \times c>b \times c$ et $a \div c > b \div c$