I. Translations

Définition

Soit 3 points A, B et P distincts et t la translation qui transforme le point A en B.

  • Lorsque le point P n'appartient pas à la droite (AB), l'image du point P par la translation t est le point P tel que ABPP est un parallélogramme.
  • Lorsque le point P appartient à la droite (AB), l'image du point P par la translation t est le point P tel que les segments [AP] et [BP] ont le même milieu.

Propriétés

  • Dans une translation, l'image d 'un segment est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.
  • Dans une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
  • Dans une translation, l'image d'une demi-droite est une demi-droite parallèle et de même sens.
  • Dans une translation, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ; son centre est l'image du centre.

La translation conserve l'alignement, les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et l'orthogonalité.

II. Vecteurs

Caractérisation d'un vecteur

Le vecteur AB est caractérisé par :

  • Sa direction qui est celle de la droite (AB).
  • Son sens qui est celui de la demi-droite AB.
  • Sa longueur qui est celle du segment [AB].

Il est représenté par une flèche.

Vecteurs égaux et vecteurs opposés

  • 2 vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

    AB=CD

  • 2 vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction, la même longueur mais des sens contraires.


    AB et BA sont opposés.

Vecteur et parallélogramme

  • Si ABCD est un parallélogramme alors AB=CD.
  • Si AB=DC et les points A, B, C et D ne sont pas alignés alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Milieu d'un segment et vecteur

  • Si un point I est le milieu d'un segment [AB] alors AI=IB.
  • Si 3 points A, I, B sont tels que AI=IB alors I est le milieu de [AB].