I. Translations
Définition
Soit 3 points A, B et P distincts et t la translation qui transforme le point A en B.
- Lorsque le point P n'appartient pas à la droite (AB), l'image du point P par la translation t est le point P′ tel que ABP′P est un parallélogramme.
- Lorsque le point P appartient à la droite (AB), l'image du point P par la translation t est le point P′ tel que les segments [AP′] et [BP] ont le même milieu.
Propriétés
- Dans une translation, l'image d 'un segment est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.
- Dans une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Dans une translation, l'image d'une demi-droite est une demi-droite parallèle et de même sens.
- Dans une translation, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ; son centre est l'image du centre.
La translation conserve l'alignement, les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et l'orthogonalité.
II. Vecteurs
Caractérisation d'un vecteur
Le vecteur →AB est caractérisé par :
- Sa direction qui est celle de la droite (AB).
- Son sens qui est celui de la demi-droite AB.
- Sa longueur qui est celle du segment [AB].
Il est représenté par une flèche.
Vecteurs égaux et vecteurs opposés
- 2 vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
→AB=→CD - 2 vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction, la même longueur mais des sens contraires.
→AB et →BA sont opposés.
Vecteur et parallélogramme
- Si ABCD est un parallélogramme alors →AB=→CD.
- Si →AB=→DC et les points A, B, C et D ne sont pas alignés alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Milieu d'un segment et vecteur
- Si un point I est le milieu d'un segment [AB] alors →AI=→IB.
- Si 3 points A, I, B sont tels que →AI=→IB alors I est le milieu de [AB].