I. Simplification d'une fraction
Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ non nul et $k$ un nombre entier non nul, on a :
$$\color{orangered}{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}=\dfrac{a \div k}{b \div k}}$$
Simplifier une fraction c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun plus grand que $1$. Lorsqu'on ne peut pas simplifier une fraction, on dit qu'elle est irréductible.
Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.
On peut utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur pour simplifier une fraction.
II. Comparaison d'une fraction à l'unité
Soit la fraction $\color{orangered}{\dfrac{a}{b}}$ avec $a$ et $b$ deux entiers naturels et $b \neq 0$.
Si le numérateur $a$ d'une fraction est égal à son dénominateur $b$, alors cette fraction est égale à l'unité.
Autrement dit, si $\color{orangered}{a=b}$, alors $\color{orangered}{\dfrac{a}{b}=1}$
Si le numérateur $a$ d'une fraction est inférieur à son dénominateur $b$, alors cette fraction est inférieure à l'unité.
Autrement dit, si $a < b$, alors $\color{orangered}{\dfrac{a}{b} < 1}$.
III. Comparaison de deux fractions
Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Lorsque deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus grand dénominateur.
IV. Écriture d'une fraction $\color{orangered}{\dfrac{a}{b}}$ sous la forme $\color{orangered}{q+\dfrac{r}{b}}$
$a, b, q$ et $r$ sont des nombres entiers naturels et $b \neq 0$.
Chaque fraction $\color{orangered}{\dfrac{a}{b}}$ peut s'écrire sous la forme : $\color{orangered}{q+\dfrac{r}{b}}$, avec $r < b$, $q$ est le quotient et $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$.
V. Encadrement d'une fraction par deux nombres décimaux
Une fraction peut toujours être encadrée par deux nombres décimaux qui sont des quotients approchés par défaut (la plus petite valeur) et par excès (la plus grande valeur).
VI. Addition et soustraction de deux fractions
Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve les dénominateurs.
Autrement dit, $a, b$ et $c$ étant trois entiers avec $c \neq 0$, on a :
$\color{orangered}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}}$ et $\color{orangered}{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}}$
Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur.
En général on prend le PPCM des dénominateurs initiaux comme dénominateur commun, puis on applique les règles précédentes.
VII. Multiplication de deux fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Autrement dit, $a, b$ et $c$ et $d$ étant des entiers avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ on a :
$\color{orangered}{\dfrac{a}{b} \times c=\dfrac{a \times c}{b}}$ et $\color{orangered}{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a \times c}{b \times d}}$
VIII. Division d'une fraction par un nombre entier
Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la fraction, puis on simplifie le résultat si possible.
$a, b$ et $c$ étant trois entiers avec $b \neq 0$ et $c \neq 0$, on a :
$\color{orangered}{\dfrac{a}{b} \div c=\dfrac{a}{b \times c}}$
