Multiples et diviseurs

I. Division euclidienne

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels tels que $b \neq 0$.
Faire la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à trouver deux entiers naturels $q$ et $r$ tels que : $\color{orangered}{a=b \times q+r}$ avec $r < b$.

II. Multiples et diviseurs communs à deux ou trois nombres entiers naturels

Soient $a, b$ et $q$ trois nombres entiers naturels. Si on a : $a=b \times q$, alors a est multiple de $b$ et $q ; b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.

Remarques :

• Le seul multiple de $0$ est $0$ lui-même.
• Un entier naturel a une infinité de multiples.
• Un entier naturel a un nombre fini de diviseurs.
• Tout nombre entier naturel est à la fois multiple et diviseur de lui-même.

Propriété :

Si $a$ est multiple de $b$ ou $b$ diviseur de $a$, alors la division de $a$ par $b$ donne un reste nul (quotient exact).

Si un nombre entier naturel $a$ est à la fois multiple de deux nombres entiers non nuls distincts $b$ et $c$, alors on dit que $a$ est un multiple commun à $b$ et $c$.

Remarque : $0$ est un multiple de tous les entiers naturels.

III. Diviseurs communs à deux ou trois nombres entiers naturels

Si un nombre entier naturel $b$ est à la fois diviseur de deux nombres entiers non nuls distincts $a$ et $c$, alors on dit que $b$ est un diviseur commun à $a$ et $c$.

Remarque : 1 est un diviseur de tout nombre entier naturel.

IV. Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier naturel différent de $1$ et qui admet seulement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Pour savoir si un nombre est premier ; on le divise successivement par les nombres premiers qui lui sont inférieurs dans l'ordre croissant. Si on trouve :

• Un quotient inférieur ou égal au diviseur, alors le nombre est premier
• Un reste nul, alors le nombre n'est pas premier.

Remarque : On arrête toujours la division lorsqu'on trouve un reste inférieur ou égal au diviseur.

V. Décomposition d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers

Propriété :

Tout nombre entier naturel qui n'est pas premier, peut être décomposé en un produit de facteurs premiers.

Pour décomposer un nombre entier naturel en un produit de facteurs premiers :

• On le divise par son plus petit diviseur premier.
• On fait la même chose avec le quotient obtenu à chaque fois.
• On arrête la division lorsqu'on obtient 1 comme quotient.

Exemple :

VI. PPMC et PGDC de deux ou trois entiers naturels

Le sigle PPMC signifie : Plus Petit Multiple Commun à deux entiers naturels a et $b$. Il est noté $\color{orangered}{\mathrm{PPMC}(a~ ; b)}$.

Pour calculer le PPMC de deux entiers naturels $a$ et $b$ :

• On décompose $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
• On fait le produit de tous les facteurs obtenus lors de la décomposition en prenant pour chaque facteur celui qui a le plus grand exposant.

Le sigle PGDC signifie : Plus Grand Diviseur Commun à deux entiers naturels $a$ et $b$. Il est noté $\color{orangered}{\mathrm{PGDC}(a~ ; b)}$.

Pour calculer le PGDC de deux entiers naturels a et $b$ :

• On décompose $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
• On fait le produit de tous les facteurs obtenus lors de la décomposition en prenant pour chaque facteur celui qui a le plus petit exposant.