Valeur absolue d’un nombre
Sur une droite graduée, la distance d’un point à l’origine, représente la valeur absolue de son abscisse.
Exemples :
$\checkmark$ $\rm |-7|=O K=+7=7$ ;
$\checkmark$ $\rm |-3,4|=O A-(-3,4)=+3,4$ ;
$\checkmark$ $|0|=0$ ;
$\checkmark$ $\rm |2|=O B=2$
Comparaison
- Si deux nombres décimaux sont positifs, alors le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
- Si deux nombres décimaux sont négatifs, alors le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
- Si deux nombres décimaux sont de signes contraires, alors le positif est le plus grand.
- Deux nombres décimaux relatifs sont opposés, s'ils ont la même valeur absolue et sont de signes contraires.
Rangement
Ranger des nombres décimaux relatifs consiste à les écrire du plus petit au plus grand (ordre croissant) ou du plus grand au plus petit (ordre décroissant).
Règle de suppression des parenthèses dans ID
- Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe plus, on supprime la parenthèse en conservant les signes qui sont à l'intérieur.
- Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins, on supprime la parenthèse en changeant les signes qui sont à l'intérieur.
Addition de décimaux relatifs
Pour additionner deux décimaux relatifs, on distingue deux cas :
- Si les deux nombres sont de même signe, alors on additionne les valeurs absolues et le résultat est du signe de ces deux nombres.
- Si les deux nombres sont de signes opposés, alors on retranche la plus petite valeur absolue de la plus grande et le signe du résultat est celui du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
Remarque : Dans une addition de décimaux relatifs, l'ordre des termes n'a aucune influence sur le résultat.
Soustraction de décimaux relatifs
Soustraire le décimal relatif $b$ du décimal relatif $d$, c'est ajouter à $b$ l'opposé de $d$.
Autrement dit, $\color{orangered}{b - d = b + \text{opposé } d}$.
Multiplication de deux nombres décimaux relatifs
- Le produit de deux nombres décimaux relatifs de même signe est un nombre relatif positif qui a pour valeur absolue le produit de leurs valeurs absolues.
Autrement dit :- si $a$ et $b$ sont des décimaux relatifs positifs, alors : $\color{orangered}{(+a) \times(+b)=+(a b)=a b}$.
- si $a$ et $b$ sont des décimaux relatifs négatifs, alors : $\color{orangered}{(-a) \times(-b)=+(a b)=a b}$.
- Le produit de deux nombres décimaux relatifs de signes contraires est un décimal relatif négatif qui a pour valeur absolue le produit de leurs valeurs absolues.
Autrement dit :- si $a$ et $b$ sont des décimaux relatifs de signes contraires, alors : $\color{orangered}{(+a) \times(-b)=-(a b)=-a b}$.
- si $a$ et $b$ sont des décimaux relatifs de signes contraires, alors : $\color{orangered}{(-a) \times(+b)=-(a b)=-a b}$.
- La multiplication dans $\rm ID$ est une opération commutative.
Autrement dit, si $a$ et $b$ sont des décimaux relatifs, alors : $\color{orangered}{a \times b=b \times a}$. - La multiplication dans ID est associative.
Autrement dit, si $a$, $b$ et $c$ sont des décimaux relatifs, alors : $\color{orangered}{(a \times b) \times c=a \times(b \times c)}$. - La multiplication dans $\rm ID$ est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Autrement dit, si a, b et c sont des décimaux relatifs, alors : $\color{orangered}{a \times(b+c)=a b+a c \text { et } a \times(b-c)=a b-a c}$
Remarque : $a$ étant un relatif, on a : $\color{orangered}{a \times 1=a}$ et $\color{orangered}{a \times 0=0}$.
Puissances
Soit $b$ un nombre décimal relatif et $n$ un entier naturel : on appelle puissance $n^{\text {ième }}$ d'un décimal relatif $b$, le produit de $n$ facteurs tous égaux à $b$.
On note
$$b^n=\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \ldots \times b}_{n \text { facteurs égaux à } b}$$
$b^n$ est une puissance du nombre $b$. $n$ est l'exposant de cette puissance.
$b^n$ se lit $b$ exposant $n$ ou $b$ à la puissance $n$.
Règles des signes :
- Le produit d'une puissance à facteurs positifs est toujours positif.
Autrement dit, $\color{orangered}{(+a)^n > 0}$. - Si le nombre de facteurs négatifs d'une puissance est pair, alors le produit est positif.
Autrement dit, $\color{orangered}{(-a)^n > 0}$ si $n$ est pair. - Si le nombre de facteurs négatifs d'une puissance est impair, alors le produit est négatif.
Autrement dit, $\color{orangered}{(-a)^n < 0}$ si $n$ est impair.
Propriétés :
Soient $a$ et $b$ deux décimaux relatifs, $n$ et $p$ deux entiers naturels, on a :
$\checkmark$ $\color{orangered}{a^n \times a^n=a^{n+p}}$ ;
$\checkmark$ $\color{orangered}{a \times b)^n=a^n \times b^n}$ ;
$\checkmark$ $\color{orangered}{\left(a^n\right)^p=a^{n \times p}}$
Remarque : $a^0=1$ ; $a^1=a$
Division dans ID
- Pour diviser deux nombres décimaux relatifs de même signe, on divise leurs valeurs absolues et le signe du résultat est le signe $+$.
Autrement dit, le quotient de deux nombres décimaux relatifs de même signe est un nombre décimal positif :
$$\color{orangered}{\displaystyle\frac{+a}{+b}=+\frac{a}{b}=\frac{a}{b} ~; \quad \frac{-a}{-b}=+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}}$$ - Pour diviser deux nombres décimaux relatifs de signes contraires, on divise leurs valeurs absolues et le signe du résultat est le signe $-$.
Autrement dit, le quotient de deux nombres décimaux relatifs de signes contraires est un nombre décimal négatif :
$$\color{orangered}{\displaystyle\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b} ; \quad \frac{+a}{-b}=-\frac{a}{b}}$$
Somme algébrique
Une somme algébrique est suite de sommes et de différences de nombres décimaux relatifs.
$(+3,7)+(-5)-(-5)$ est une somme algébrique.
Pour simplifier l'écriture d'une somme algébrique, on procède comme suit :
- Transformer la somme algébrique en une somme de nombres relatifs ;
- Supprimer le signe $+$ du premier terme s'il est positif ;
- Supprimer les signes de l'addition et les parenthèses.
Suppression des parenthèses
- Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe $+$, on supprime la parenthèse sans changer les signes qui sont à l'intérieur.
Exemple : $+(3-2+5) = 3-2+5$. - Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe $-$, on supprime la parenthèse en changeant les signes qui sont à l'intérieur.
Exemple : $-(3-2+5)=-3+2-5$.
