Division des nombres décimaux

Division euclidienne des nombres décimaux

Quand on divise un nombre décimal $a$ par un nombre décimal $b$ non nul, on trouve un nombre décimal $q$ et un reste $r$.

Éléments de la division

• $a$ est le dividende
• $b$ est le diviseur
• $q$ est le quotient
• $r$ est le reste

Relation fondamentale : $\rm {Dividende = Diviseur \times quotient + reste}$

Dans une division si le reste est égal à $0$ alors le quotient est dit exact.

I. Quotient approché par défaut

Si le quotient est un nombre entier, il est alors appelé quotient entier ou quotient approché à une unité près par défaut.

Si le quotient comporte un, deux ou trois chiffres après la virgule, il est alors respectivement dit approché par défaut au dixième, au centième ou au millième près par défaut.

II. Quotient approché par excès

En ajoutant un au quotient entier on obtient alors un quotient approché à une unité près par excès.

En ajoutant respectivement $0,1$   $0,01$ et $0,001$ respectivement au quotient approché par défaut au dixième, centième et millième près on obtient alors respectivement des quotients approchés au dixième, au centième et au millième près par excès.

Règles

a. Division par $10, 100, 1~000, 0,1$, etc.

• Pour diviser un nombre décimal par $10$   $100$ ou $1~000$, on déplace la virgule respectivement d'un, de deux ou de trois rangs vers la gauche.
• Pour diviser un nombre décimal par $0,1$   $0,01$ ou $0,001$, on déplace la virgule respectivement d'un, de deux ou de trois rangs vers la droite.

b. Caractères de divisibilité

• Un nombre entier naturel est divisible par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$.
• Un nombre entier naturel est divisible par $3$ ou par $9$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ou par $9$.
• Un nombre entier naturel est divisible par $5$ lorsqu'il est terminé par $0$ ou par $5$.
• Un nombre entier naturel est divisible par $10$ lorsqu'il est terminé par $0$.

Les fractions

Définition d'une fraction

Soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux quelconques et $b$ non nul, l'écriture $\dfrac{a}{b}$ est appelée fraction.

$a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.

Écriture décimale et fractionnaire

Si le résultat de la division de $a$ par $b$ est égal à $q$ alors :

• $q$ est l'écriture décimale de la fraction $\dfrac{a}{b}$.
• $\dfrac{a}{b}$ est l'écriture fractionnaire du nombre $q$

Multiplication d'un nombre décimal par une fraction

Pour multiplier un nombre décimal $c$ par une fraction $\dfrac{a}{b}$ on peut appliquer trois méthodes :

1. On divise $c$ par $b$ puis on multiplie le résultat par $a$ : $\dfrac{c}{b} \times a$.
2. On multiplie $c$ par $a$ et on divise le tout par $b$ : $\dfrac{a \times c}{b}$
3. On divise $a$ par $b$ puis on multiplie le résultat par $c$ : $\dfrac{a}{b} \times c$

Prendre une fraction d'une quantité

Pour prendre une fraction $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité $q$, on la multiplie par son numérateur, puis on divise le résultat par $b$. Autrement dit, on effectue l'opération $\dfrac{a \times q}{b}$.