Fonctions ln et exponentielle de base e

Définition

La fonction logarithme népérien est l’unique primitive sur $]0 ; + \infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s’annule en 1. Elle est notée $x \mapsto \ln(x)$.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$. 

Pour tout $x \in\:]0 ; + \infty[$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0 ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1 ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

$\lim_{x\to 0} \ln(x)$ = $-\infty$ ; $\lim_{x\to +\infty} \ln(x)$ = $+\infty$ ; $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ = 0.  

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$ ;  $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel) ; $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.

Représentation graphique

Définition
La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$, est définie sur $\mathbb{R}$.

Pour une valeur $x$ donnée, le nombre réel $y = e^x$ est l’unique solution de l’équation $\ln(y) = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Représentation graphique

Propriétés

$e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a : $e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel).