Suites numériques 2

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Une suite arithmétique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule ${u}_{n + 1} - {u}_{n}$ et on obtient un réel $r$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 + nr$.

Monotonie

Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante ;

Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante ;

Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{{u}_{n + 1}}{{u}_{n}}$ et on obtient un réel $q$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.

Monotonie

Si ${u}_0$ et $q$ sont strictement positifs :

Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante ;

Si $q < 1$, alors la suite est strictement décroissante ;

Si $q =1$, alors la suite est constante.