Définition
On considère une fonction $f$ continue et positive sur l’intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$).
On note $\rm A$ l'aire (en unités d’aire) de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$.
On note $\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ l’aire $\rm A$.
On a donc $\displaystyle\mathrm A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$.
Exemple
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x+5$ qui est continue et positive sur l’intervalle $[0~ ; 2]$.
Pour calculer l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$, on utilise les carreaux ou, ici, la formule de l’aire d’un trapèze : $\displaystyle\frac{(5+9)\times 2}{2} = 14$.
On a donc $\displaystyle\int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = 14~\rm{u.a.}$.