Suites géométriques

Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors $u_{n + 1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ et on obtient un réel $q$.

Pour ce qui suit, on considère une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q > 0$.

Terme général 
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

Monotonie 

Premier cas : $u_0 > 0$

• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $q = 1$, alors la suite est constante ;
• Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante.

Deuxième cas : $u_0 < 0$

• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $q = 1$, alors la suite est constante ;
• Si $q > 1$, alors la suite est strictement décroissante.

Somme des $n$ premiers termes 
Pour tout $n \in {\mathbb{N}}^*$ et si $q \neq 1$, 
$S = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = u_0  \times \frac{1-q^n}{1-q}$.