Suites arithmétiques

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule ${u}_{n + 1} - {u}_{n}$ et on obtient un réel $r$.

Pour ce qui suit, on considère une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 + nr$.

Monotonie

Les points $(n~;~u_n)$ appartiennent à une droite représentation graphique d’une fonction affine de coefficient directeur $r$. On a donc :

• Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des $n$ premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, 

$\mathrm S = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = n \frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$.