Vecteurs de l’espace (Groupe B)

On munit le plan d’un repère orthonormal $(\mathrm{O}~ ; \vec{i}~ ; \vec{j}~; \vec{k})$.

Coordonnées de vecteurs

Pour $\mathrm A({x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B({x}_{\mathrm{B}}~ ; {y}_{\mathrm{B}}~ ; {z}_{\mathrm{B}})$ deux points de l’espace et $\alpha$ un réel, on a :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} ({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}}~ ; {z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})$

 $\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\alpha ({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})~ ; \alpha ({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})~ ; \alpha ({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}}))$

Pour $\vec{u}(x~ ; y~ ; z)$ et $\vec{v}(x’~ ; y’~ ; z’)$ deux vecteurs du plan : 

$\vec{u} + \vec{v} (x + x’~ ; y + y’~ ; z + z’)$.

Vecteurs colinéaires et points alignés
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.

Trois points de l’espace $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.

Norme d’un vecteur 

Pour $\vec{u}(x~ ; y~ ; z)$ un vecteur de l'espace, $\| \overrightarrow u \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.