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Fonctions exponentielles et logarithme décimal

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Fonctions exponentielles

Définition

Pour a>0 fixé, la fonction exponentielle de base a est la fonction expa:xax.

Elle est définie et positive sur R ; expa(0) = 1.

Elle est dérivable sur R et :

  • pour 0 < a < 1, la fonction est décroissante sur R.
  • pour a > 1, la fonction est croissante sur R.

Propriétés algébriques

Pour tous les x et y réels, et n entier relatif :

ax+y=ax×ay ; axy=axay ; anx=(ax)n.

Représentations graphiques selon les valeurs de a>0

0<a=0,3<1 ; a=2>1

Fonction logarithme décimal

Définition

Le logarithme décimal, noté $\log$, est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

pour tout $b$ > 0, $\log(b)$ est l’unique solution de $10^x$ = $b$.

Pour $x$ > 0 et $a$ réel : $\log(x)$ = $a$ $\Leftrightarrow$ $x$ = $10^a$.

Elle est strictement croissante sur ]0 ; $+\infty$[.

Propriétés algébriques

$\log(1)$ = 0 donc log est négative sur ]0 ; 1] et positive sur [1 ; $+\infty$[.  

$\log(10) = 1$.

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n\in \mathbb{N}$ :

$\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log(b)$ ;

$\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ;

$\log(a^n) = n\log(a)$ ;

Pour $a = 10$, $\log(10^n) = n\log(10) = n$.

Equation et inéquation

$\log(a) = \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a = b$

$\log(a) \leq \log(b)$ $\Leftrightarrow$ $a \leq b$

Représentation graphique


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