Probabilités conditionnelles

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cap B$ ("$\rm A$ inter $\rm B$") : $\rm A \cap B$ correspond à l'événement "$\rm A$ et $\rm B$".

Evénements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise $\rm A$ et $\rm B$, c'est-à-dire $\rm A \cap B = \emptyset$, on dit que $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles.

Evénements indépendants

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants, on a : 
$\rm P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cup B$ ("$\rm A$ union $\rm B$") : $\rm A \cup B$ correspond à l'événement "$\rm A$ ou $\rm B$".

Propriétés

$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, on a : 
$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Soit $\rm A$ et $\rm B$ deux événements ($\rm A$ de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement $\rm B$ sachant que l’événement $\rm A$ est réalisé est : 

$\rm P_{A} (B) = \dfrac{\rm P(A \cap B)}{P(A)}$.

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a : 

$\rm P_A (B) = 0,6$ ; $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$ ; $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$ ; $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$.

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B) = \rm P_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$ et  $\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $\rm A$, $\rm \bar{A}$, $\rm B$ et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $\rm A \cap B$ et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l’événement $\rm B$ et on a : 

\[\begin{array}{ll}\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)\\
\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})\end{array}\]

Exemple :

On a vu que :

\[\rm P(A\cap B) ={P}_A(B) \times P(A)=0,6\times 0,2 = 0,12\]

et

$\rm P(\bar{A} \cap B) = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $\rm = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

D’après la formule des probabilités totales :

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ $= 0,12 + 0,56 = 0,68$