Intégrale d’une fonction comme aire sous la courbe

Définition

On considère une fonction $f$ continue et positive sur l’intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$).

On note $\rm A$ l'aire (en unités d’aire) de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$.

On note $\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ l’aire $\rm A$.

On a donc $\displaystyle\mathrm A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$.

Exemple

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x+5$ qui est continue et positive sur l’intervalle $[0~ ; 2]$.

Pour calculer l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$, on utilise les carreaux ou, ici, la formule de l’aire d’un trapèze : $\displaystyle\frac{(5+9)\times 2}{2} = 14$.

On a donc $\displaystyle\int_0^2 f(x) \mathrm{d}x = 14~\rm{u.a.}$.

Définition d'une primitive

Une primitive $\rm F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\rm I$ est la fonction définie par : pour tout $x \in \rm I$, $\mathrm F'(x) = f(x)$.

L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $\rm I$ est composé des fonctions définies sur $\rm I$ par $F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.

Toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle $\rm I$ admet une primitive $\rm F$ sur $\rm I$.

Primitives usuelles et opérations

Intégrale

On considère une fonction $f$ dérivable sur l’intervalle $[a~ ; b]$ $(a < b)$ et on note $\rm F$ une de ses primitives.

On a : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = [\mathrm F(x)]_{a}^{b}$ $= \mathrm F(b) - \mathrm F(a)$. 

Cela généralise la définition de $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ aux fonctions de signe quelconque.

Propriétés de l’intégrale 

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a~ ; b]$ $(a < c < b)$ et un réel $k$ :

• $\displaystyle \int_a^b (f(x) + g(x)) \mathrm{d}x$ $\displaystyle = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$ ;
• $\displaystyle\int_a^b k f(x) \mathrm{d}x = k \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ ;
• $\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x $  $+ \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$ ;
• $f(x) > 0$ sur $[a~ ; b]$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x > 0$ ;
• $f(x) > g(x)$ sur $[a~ ; b]$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x > \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$.

Valeur moyenne

Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a~ ; b]$ $(a < b)$.
On a $\displaystyle \mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$.