Fonctions exponentielles et logarithmes

Définition

Pour $a > 0$ fixé, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $\exp_a : x \mapsto a^x$.

Elle est définie et positive sur $\mathbb{R}$ ; $\exp_a(0)$ = 1.

Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

• pour 0 < $a$ < 1, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$.
• pour $a$ > 1, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.

Propriétés algébriques

Pour tous les $x$ et $y$ réels, et $n$ entier relatif :

• $a^{x + y} = a^x \times a^y$ ;
• $a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ ;
• $a^{nx} = (a^x)^n$.

Représentations graphiques selon les valeurs de $\bf a > 0$

$0 < a = 0,3 < 1$ ; $a = 2 > 1$

Définition

Le logarithme décimal, noté $\log$, est la fonction définie sur $]0~; +\infty[$ par :

pour tout $b$ > 0, $\log(b)$ est l’unique solution de $10^x$ = $b$.

Pour $x$ > 0 et $a$ réel : $\log(x) = a \Leftrightarrow x = 10^a$.

Elle est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;+\infty[$.

Propriétés algébriques

$\log(1)$ = 0 donc log est négative sur $]0~ ; 1]$ et positive sur $[1~; +\infty[$.  

$\log(10) = 1$.

Pour tout $a$ et $b$ réels strictement positifs, et $n\in \mathbb{N}$ :

• $\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)$ ;
• $\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log(b)$ ;
• $\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ;
• $\log(a^n) = n\log(a)$ ;
• Pour $a = 10$, $\log(10^n) = n\log(10) = n$.

Représentation graphique

Définition

Pour $\rm e\approx 2,718$, on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction exponentielle (de base $\rm e$), qui est notée $x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. 
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés algébriques

$\rm e^0 = 1$.

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $\mathrm e^{a + b} = \mathrm e^{a} \times \mathrm e^{b}$ ;
• $\mathrm e^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm e^{a}}$ ;
• $\mathrm e^{a - b} = \dfrac{\mathrm e^{a}}{\mathrm e^{b}}$ ;
• ${(\mathrm e^{a})}^{n} = \mathrm e^{n a}$ ($n$ entier relatif).

Représentation graphique

Définition

La fonction logarithme népérien définie sur $]0~ ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $\mathrm{e}^{y} = x$ d’inconnue $y$. 

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Propriétés

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

• $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ;
• $\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ ;
• $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ;
• $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel) ;
• $\dfrac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$ ;
• $\ln({a}^x) = x \ln(a)$ ($x$ réel).

Dérivée et variations

Pour tout $x \in\:]0 ~; + \infty[$, $\ln’(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

$\ln(1) = 0$ donc $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Représentation graphique