Modèles discrets de suites arithmétiques et géométriques

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant le même nombre réel $r$.

On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_n$ pour tout entier naturel $n$, et on doit obtenir un réel $r$.

Terme général

Soit $(u_n)$ un suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + n\times r$ ou aussi $u_n = u_1 + (n-1)\times r$.

Somme des premiers termes

Soit $(u_n)$ un suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_n= (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}$.

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$ non nul.

On a alors $u_{n + 1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ non nul est appelé la raison de la suite géométrique.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ pour tout entier naturel $n$, et on doit obtenir un réel $q$ non nul.

Terme général

Soit $(u_n)$ un suite géométrique de raison $q$ non nul et de premier terme $u_0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

Somme des premiers termes

Soit $(u_n)$ un suite géométrique de raison $q$ non nul et de premier terme $u_0$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_n $ $= u_0 \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$.