Vecteurs du plan

On munit le plan d’un repère orthonormal (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Vecteurs

Pour deux points distincts de l'espace $\rm A$ et $\rm B$, le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par sa direction (la droite $\rm (AB)$), son sens (de A vers B) et sa longueur AB = $\| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \|$.

Coordonnées de vecteurs

Pour $\mathrm A({x}_{\mathrm{A}}$ ; ${y}_{\mathrm{A}}$) et $\mathrm B({x}_{\mathrm{B}}$ ; ${y}_{\mathrm{B}})$ deux points du plan et $\alpha$ un réel, on a :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (${x}_{\mathrm{B}}$ - ${x}_{\mathrm{A}}$ ; ${y}_{\mathrm{B}}$ - ${y}_{\mathrm{A}}$)

$\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ($\alpha$(${x}_{\mathrm{B}}$ - ${x}_{\mathrm{A}}$) ; $\alpha$(${y}_{\mathrm{B}}$ - ${y}_{\mathrm{A}}$))

Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x’~ ; y’)$ deux vecteurs du plan : $\vec{u}+\vec{v}(x + x’~ ; y + y’)$.

Vecteurs colinéaires et points alignés

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.

Trois points du plan $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.

Norme d’un vecteur 

Pour $\vec{u}(x~ ; y~ ; z)$ un vecteur de l'espace, $\| \overrightarrow u \|$ $=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.