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Fonctions logarithme népérien et exponentielle

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Logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien est l’unique primitive sur ]0 ;+[ de la fonction x1x qui s’annule en 1. Elle est notée xln(x).

Elle est définie, continue et dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[

Pour tout x]0 ;+[, ln(x)=1x>0 donc la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+[.

ln(1)=0 et lnx<0 pour x]0 ;1[ et lnx> 0 pour x]1 ;+[ car la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+[.

 

Propriétés algébriques

Pour tous les réels a et b strictement positifs :

ln(a×b)=ln(a)+ln(b) ; ln(1b)=ln(b)ln(ab)=ln(a)ln(b) ; ln(an)=nln(a) (n entier naturel) ; 12ln(a)=ln(a).

 

Représentation graphique


Fonction exponentielle de base e

Définition
La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$, est définie sur $\mathbb{R}$.

Pour une valeur $x$ donnée, le nombre réel $y = e^x$ est l’unique solution de l’équation $\ln(y) = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Représentation graphique


Propriétés algébriques

$e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a : $e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel).

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