Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé $(\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.
Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}(x~; y)$ et $\vec{v}(x’~; y’)$ deux vecteurs non nuls du plan :
→u⋅→v=‖→u‖‖→v‖cos(→u ;→v)
Si l’un des deux vecteurs est nul, →u⋅→v=0.
Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}(x~; y)$ et $\vec{v}(x’~; y’)deuxvecteursduplan:\vec{u} \cdot \vec{v}$ = xx’ + yy’ qui est un nombre réel.
Exemple : pour →u(2 ;−1) et →v(1 ;0) deux vecteurs du plan, →u⋅→v=2×1+(−1)×0=2.
Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.