Poutres en béton armé sollicitées aux ELU

Aux ELU la contrainte de compression dans le béton est proche d’un diagramme rectangulaire plafonné, simplification du diagramme parabole-rectangle de la contrainte.

Les lois de la RDM ne sont pas respectées. La loi de Hooke ne s’applique pas.

Le schéma correspond à une poutre fléchissant vers le bas et sur deux appuis.

• $\rm F’s =$ résultante des forces dans les aciers comprimés.
• $\rm F_c =$ résultante des forces dans le béton comprimé.
• $\rm F_s =$ résultante des forces dans les aciers tendus.

$f_{cd} = \alpha_{cc}\dfrac{f_{yd}}{\gamma_c}$
$\gamma_c = 1,5$ et $\alpha_{cc} = 1$ situation normale ou $\gamma_c = 1,2$ et $\alpha_{cc} = 0,9$ situation accidentelle.

D'où : $\mathrm M_u = \mathrm M_b$ $= (\lambda y \times b) \times \eta f_{cd} \times \left(d - \lambda \dfrac{y}{2}\right)$

On pose : $y = \alpha d \Rightarrow \alpha = \dfrac{y}{d}$ $\Rightarrow \mathrm M_u = (\lambda y \times b) \times \eta f_{cd}\times \left(d - \dfrac{\lambda\alpha d}{2}\right)$ $=(\lambda\alpha d \times b) \times \eta f_{cd}\times d \left(1 - \dfrac{\lambda\alpha}{2}\right)$ $=(\lambda \alpha\eta b d^2) \left(1 - \dfrac{\lambda\alpha}{2}\right)f_{cd}$

On nomme moment réduit l'expression : $\mu = \dfrac{\mathrm M_u}{bd^2f_{cd}} = \lambda\alpha\eta\left(1 - \dfrac{\lambda\alpha}{2}\right)$ $=(\lambda\alpha d \times b) \times \eta f_{cd} \times d \left(1 - \dfrac{\lambda\alpha}{2}\right)$ que l'on développe sous la forme :

$2\mu = 2\lambda\alpha\eta - (\lambda\alpha)^2\eta$ $\Rightarrow (\lambda^2\eta) \alpha^2 - (2\lambda \eta) \alpha +2\mu =0$ ce qui donne $\alpha = \dfrac{1}{\lambda \eta} \left(\eta - \sqrt{\eta(\eta - 2\mu)}\right)$

Cas particulier fréquent :

$f_{ck} \leq 50~\rm MPa \Rightarrow \left\{\begin{array}{cc}\eta = 1\\ \lambda = 0,8\end{array}\right\}$ $\Rightarrow \alpha = \dfrac{1}{0,8} \times \left(1- \sqrt{1 - 2\mu}\right)$ $= 1,25 \times \left(1 - \sqrt{1-2\mu}\right)$

Pour les autres valeurs, il faut calculer les coefficients :

$50\leq f_{ck} \leq \rm 90~MPa$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc}\eta = 1,0 - \dfrac{1}{200} (f_{ck} - 50)\\ \lambda = 0,8 - \dfrac{1}{400} (f_{ck} - 50)\end{array}\right\}$ $\Rightarrow \alpha = \dfrac{1}{\lambda \eta}\left(\eta-\sqrt{\eta (\eta - 2\mu})\right)$

Recherche du moment résistant réduit du béton. On reprend l'expression déjà utilisée :

Lorsque $\alpha \rightarrow \alpha_{\rm R}$ alors $\mu \rightarrow \mu_{\rm R} = \lambda \alpha_{\rm R} \eta \left(1 - \dfrac{\lambda\alpha_{\rm R}}{2}\right)$ avec $\alpha_{\rm R} = \dfrac{\varepsilon_{cu^2}}{\varepsilon_{yd} + \varepsilon_{cu^2}}$

Exemple : $\left\{\begin{array}{cc}f_{ck} \leq \rm 50~MPa\\ f_{yk} = \rm 500~MPa\end{array}\right\}$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc}\varepsilon_{cu^2} = 3,5~‰\\ \varepsilon_{yd} = 2,17~‰\end{array}\right\}$ $\Rightarrow \alpha_{\rm R} = \dfrac{3,5}{2,17 + 3,5} = 0,617$

On déduit le moment réduit résistant.

Cas où $\mu > \mu_{\rm R}$

Dès que le moment réduit est dépassé, le béton n'a plus une résistance suffisante, et il faut placer des aciers dans la partie comprimée du béton. Nous allons utiliser le principe de superposition (un des principes de la RDM), en décomposant notre moment ultime de la façon suivante :

$\mathrm M_u = \mathrm M_{u\rm R} + \mathrm M_c$
$\alpha_{\rm R} = \dfrac{\varepsilon_{cu^2}}{\varepsilon_{yd} + \varepsilon_{cu^2}}$
$\mu_{\rm R} = \lambda\alpha_{\rm R}\eta\left(1 - \dfrac{\lambda \alpha_{\rm R}}{2}\right)$ d'où
$\mathrm M_{u\rm R} = \mu_{\rm R} \times bd^2f_{yd}$ et $\mathrm M_c = \mathrm M_u - \mathrm M_{u\rm R}$
$\rm A_{s^2} = A'_{s^2} = A'_s = \dfrac{M_{\mathcal c}}{\mathcal{f_{yd}}(\mathcal d - \mathcal c')}$
$\rm A_{s^1} = \dfrac{M_{\mathcal uR}}{\mathcal{f_{yd}}\mathcal d\left(1 - \lambda \dfrac{\alpha_R}{2}\right)}$
$\rm A_s = A_{s^1} + A_{s^2}$

Synoptique de dimensionnement aux ELU :

Exemple de dimensionnement des aciers dans une poutre rectangulaire soumise à de la flexion simple (poutre articulée + appui simple).

Calcul des effets des actions. Les expressions utilisées pour évaluer les efforts nécessaires au dimensionnement des aciers sont :

$\mathrm M = \dfrac{pl^2}{8}$ et $\mathrm V_0 = \dfrac{pl}{2}$

Combinaisons fondamentales à l’ELU : $1,35 \times 70 + 1,5 \times 120 = 274,5~\rm kN /m$ $\rightarrow \Rightarrow \mathrm M_u = 6725,25~\rm m.kN$ et $\mathrm V_u = 1~921,5~\rm kN$

Combinaison caractéristique à l’ELS : $\rm 70+120=190~kN/m \Rightarrow \rm M_{se}=4655~m$.
$\rm kN$ et $\rm V_{se}=1~330~kN$

Combinaison quasi-permanente à l’ELS : $\rm 70 + 0,5 \times 120=130~kN/m$ $\Rightarrow \rm M_{se,\mathcal{qp}} = 3~185~m$.
$\rm kN$ et $\rm V_{se,\mathcal{qp}} = 9~10~kN$

La classe environnementale correspondant à l’hypothèse « environnement humide » correspond à $\rm XC3$. La classe structurale de base est $\rm S4$.
L’ouvrage doit durer plus de $100$ ans $\rightarrow +2 \rightarrow$ on passe à $\rm S6$.
Béton $\rm C40/50 \rightarrow -1 \rightarrow$ on passe à $\rm S5$.
Pas de cendre volante $\rightarrow -1 \rightarrow$ on passe à $\rm S4$.
Enrobage compact (préfabrication avec béton ferme) $\rightarrow$ non $\rightarrow$ on reste à $\rm S4$.

Le tableau à double entrée permet de définir l’enrobage $\rm C_{min,dur} = 25~mm$.

$\rm C_{min, b} = max [\phi \text{ diamètre des armature }$ ; $\phi_n \text{ équivalent paquets de barres}]$
$\rm C_{min, b} = max[40~ ; 56,57] = 56,57 ~\rm mm$.
$\rm C_{min} = max [C_{min, b}~ ; C_{min, dur} ; 10~mm]$ $\rm =56,57~mm$.

Tolérance de positionnement des aciers longitudinaux. $\rm \Delta_{C_{dev}} = 10~mm$.

Il n’y a pas de protection spécifique des aciers (peinture anti-rouille, aciers inox) et il ne s’agit pas d’une longrine de fondation. Bilan : $\rm C_{nom} = 56,57+10 = 66,57~mm$

$c = 66,57 + 2 \times 40 + \dfrac{20+6}{2} + 14$ $\rm = 173,57 \approx 175~mm$ et $d - h -c = 1,25 - 0,175$ $= \rm 1,075~m$

$f_{cd} = \alpha_{cc} \dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} = 1 \times \dfrac{40}{1,5} = 26,66~\rm MPa$
$f_{yd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{500}{1,15} = 434,8~\rm MPa$
$\lambda = 0,8$
$\eta = 1$
$\varepsilon_{cu^2} = 3,5~‰$
$\varepsilon_{yd} = \dfrac{f_{yd}}{\rm E_s} = \dfrac{434,8}{200~000} = 2,17~‰$

$\mu = \dfrac{\mathrm M_u}{bd^2f_{cd}}$ $= \dfrac{6,72525}{0,55 \times 1,075^2\times 26,6}$ $= 0,398$
$\alpha = \dfrac{1}{\lambda\eta} \left[\eta - \sqrt{\eta(\eta - 2\mu)}\right]$ $= 1,25 \times \left[1 - \sqrt{1 - 2\times 0,398}\right]$ $= 0,685$

$\alpha_{\rm R} = \dfrac{\varepsilon_{cu^2}}{\varepsilon_{cu^2}+\varepsilon_{yd}} = \dfrac{3,5}{3,5 + 2,17} = 0,617$

$\mu_{\rm R} = \lambda\alpha_{\rm R}\eta\left(1 - \lambda \dfrac{\alpha_{\rm R}}{2}\right)$ $= 0,8 \times 0,617 \times 1 \left(1-\dfrac{0,8 - 0,617}{2}\right)$ $= 0,371$ $\Rightarrow \mu \geq \mu_{\rm R} \Rightarrow \rm A' \neq 0$

Les aciers comprimés sont nécessaires. Calcul du moment ultimes résistant et du moment complémentaire :

$\mathrm M_{u\rm R} = \mu_{\rm R} bd^2 f_{cd} = 0,371\times 0,55\times 1,0752\times 26,6$ $\rm =6,27242~m.MN$
$\Rightarrow \mathrm M_c = \mathrm M_u - \mathrm M_{u\rm R}$ $= 6,72525 - 6,27242$ $\rm = 0,45283~m.MN$

L’enrobage de calcul des aciers comprimés donne :

$c '=66,57 + 14 + \dfrac{40}{2}$ $\rm = 100,57~mm$ $\Rightarrow d_2 = 1,25 - 0,175 - 0,10057$ $\rm = 0,97443~m$

$\mathrm{A_2 = A'} = \dfrac{\mathrmM_c}{d_2f_{yd}} = \dfrac{0,45283}{0,97443 \times 434,8}$ $\rm = 0,001069~m^2 = 10,69~cm^2$

$\mathrm A_1 = \dfrac{\mathrm M_{u\rm R}}{ f_{yd}d\left(1 - \frac{\lambda\alpha_{\rm R}}{2}\right)}$ $=\dfrac{6,27242}{434,8 \times 1,075 \times \left(1-\frac{0,8\times 0,617}{2}\right)}$ $\rm = 0,017817~m^2 = 178,17~cm^2$

Aciers comprimés en partie haute : $\rm A' =10,69~cm^2 \Rightarrow 4~HA$ $~\rm 20 = 12,566~cm^2$

Aciers tendus en partie basse :
$\rm A = A_1+ A_2 = 178,17 + 10,69 = 188,86 ~cm^2$
$\rm\Rightarrow 3 \text{ lits de 4 HA } 40 + 1 \text{ lit de }$ $\rm [2~HA~40 + 2~HA~32]$ $\rm = 192,014~cm^2$