Poutres en bois, comportement vis à vis de la flexion simple

Hypothèses utilisées :

• Section nominale : $b \times h$ (en $\rm mm^2$) et section de calcul : $(b – 3) \times (h – 3) \rightarrow$ on élimine la zone de surface brute.
• Poutres librement appuyées sur leurs appuis et la charge est appliquée sur 5 ou 6 points équidistants
• La poutre est posée sur chant.
• Nombre supérieur = condition de résistance (charges totales admissibles en $\rm daN$).
• Nombre inférieur = condition de déformation (flèche permanente $< 1/300^{\rm ème}$ de la portée, charges totales équivalentes en $\rm daN$).

Exemple de prédimensionnement : charge à reprendre : $\rm 250~ daN / m$ sur $5,00$, soit $\rm 250 \times 5 = 1~250~daN$, ce qui donne un madrier $100 \times 300^*$ $(\underline{1~500}, 861)$ pour la résistance nécessaire, mais pour respecter les condition de flèche de $\rm 1/300^{ème}$, il faudra prendre un madrier de $150 \times 300^{**}$ $(3~000, \underline{2~052})$. On pourrait aussi prendre 2 madriers $75 \times 330^{***}$ $(1~360,\underline{860})$ chacun. Dimensionnement direct par la RDM, en reprenant l’exemple précédent.

L’hygrométrie du bois entraîne classification en classe $2$ (voir EC5, $\rm Rh \leq 0,12 \rightarrow$ Classe $1$, $\rm 0,12 < R_h \leq 0,2 \rightarrow$ Classe $2$, $\rm R_h > 0,2 \rightarrow$ Classe $3$).

Caractéristiques mécaniques réglementaires. (si $2$ durées, choisir le plus court $\rightarrow$ long terme, EC5).

• $\rm ELS \rightarrow$ contrainte admissible de traction par flexion : $f_{m,k} = 22~\rm MPa \Rightarrow$
  $\rm \sigma_{admissible~ ELS} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{m,k}}{\rm \gamma_M} = \dfrac{0,7\times 22}{1}$ $= 15,2~\rm MPa$
• $\rm ELU \rightarrow$ contrainte admissible de traction par flexion : $f_{m,k} = 22~\rm MPa \Rightarrow$
  $\rm \sigma_{admissible~ ELU} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{m,k}}{\rm \gamma_M} = \dfrac{0,7\times 22}{1,3}$ $= 11,85~\rm MPa$
• $\rm ELS \rightarrow$ contrainte admissible de compression transversale : $f_{c90} = 5,1~\rm MPa \Rightarrow$ $\rm \sigma_{admissiblec90 ELS} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{c90}}{\rm \gamma_M}$ $= \dfrac{0,7\times 5,1}{1} = 3,57~\rm MPa$
• $\rm ELU \rightarrow$ contrainte admissible de compression transversale : $f_{c90} = 5,1~\rm MPa \Rightarrow$ $\rm \sigma_{admissiblec90 ELU} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{c90}}{\rm \gamma_M}$ $= \dfrac{0,7\times 5,1}{1,3} = 2,75~\rm MPa$
• $\rm ELS \rightarrow$ contrainte admissible de cisaillement : $f_{v,k} = 2,4~\rm MPa \Rightarrow$
  $\rm \sigma_{admissiblevELS} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{v,k}}{\rm \gamma_M} = \dfrac{0,7\times 2,4}{1}$ $= 1,68~\rm MPa$
• $\rm ELU \rightarrow$ contrainte admissible de cisaillement : $f_{v,k} = 2,4~\rm MPa \Rightarrow$
  $\rm \sigma_{admissiblevELU} = \dfrac{k_{\rm mod} \times f_{v,k}}{\rm \gamma_M} = \dfrac{0,7\times 2,4}{1,3}$ $= 1,30~\rm MPa$
• Coefficient rectificatif pour les modules d’élasticité : $\dfrac{1}{1+k_{\rm def}} = \dfrac{1}{1 + 0,5} = 0,667$ uniquement aux $\rm ELS$
• Module d’élasticité longitudinale : $\rm E_{0,moyen} = 10~000~ Mpa \Rightarrow$ $\rm E_{0,moyen~ admissible~ ELS} = 0,667 \times 10~000$ $\rm =6~670 ~Mpa$
• Module d’élasticité transversale : $\rm E_{90, moyen} =330~ Mpa \Rightarrow$
  $\rm E_{90, moyen~ admissible~ ELS} = 0,667\times 330$ $\rm =220~ Mpa$
• Module de cisaillement : $\rm G_{moyen}=630~ Mpa \Rightarrow$
  $\rm G_{moyen~ admissible~ ELS} = 0,667\times 630$ $\rm = 420~Mpa$
• Actions mécaniques réelles : $\rm Y_{G, ELS} = Y_{D, ELS} = \dfrac{\rho_{ELS}\cal l}{2} = \dfrac{250\times 4,80}{2}$ $\rm = 1~850 ~daN$
• Actions aux appuis : $\rm Y_{G, ELU} = Y_{D, ELU} = \dfrac{\rho_{ELU}\cal l}{2} = \dfrac{360\times 4,80}{2}$ $\rm = 2~664~daN = V_{ED}$
• Moment fléchissant maximum : $\rm M_{ED} = \dfrac{\rho_{ELU}L^2}{8} = \dfrac{360\times 4,80^2}{8}$ $\rm =1~037 ~m . daN$
• Relation contrainte / moment fléchissant : $\rm \sigma = \dfrac{M_{ED}}{\frac{I}{\cal v}} \Rightarrow \dfrac{I}{\cal v} = \dfrac{M_{ED}}{\sigma} \geq \dfrac{M_{ED}}{\sigma_{admissible~ELU}}$
  $\dfrac{\rm I}{v} = \dfrac{1~037\cdot 10^{−5}}{11,85} = \rm 0,000875~m^3$ $\rm = 875,1~cm^3$

On peut choisir un madrier $105 \times 225$ $\rm (0,0236~m^2)$ : moment quadratique $\rm I = 9~966~cm^4$ et le module élastique $\dfrac{\rm I}{v} = 885~ cm^3$

Condition de flèche à respecter de $\rm 1/300^{ème}$ de la portée libre, soit $\rm 0,0493~m = 4,93~cm$.

Le moment quadratique devra au moins avoir la valeur :
$\rm I \geq \dfrac{5 \rho_{ELS} L^4}{384 E_{0,moyen~ admissible~ ELS} \cal f}$ $= \dfrac{5\times 250\cdot 10^{−5}\times 4,804}{384\times 6~670 \times 0,0493}$
$\rm I \geq 0,00005255~m^4 = 5~255~cm^4$

Le profilé bois $105 \times 225$ choisi précédemment convient largement.

Vérification de la contrainte de compression transversale. La section d’appui fait $\rm\rightarrow S = 105 \times 100 = 10~500~mm^2$ $\rm = 0,0105 m^2$
$\rm \sigma = \dfrac{Y_{G, ELU}}{S} = \dfrac{2~264\cdot 10^{-5}}{0,0105}$ $\rm = 2,54 ~MPa \leq 2,75~MPa \Rightarrow OK$

Vérification de la contrainte de cisaillement. $\tau = \dfrac{\rm V \times M_s}{\mathrm I\times b} = \dfrac{\mathrm V \times \frac{bh^2}{8}}{\frac{bh^3}{12} \times b} = \dfrac{\rm 3V}{2hb}$ $= \dfrac{3\times 2~664\cdot 10^{−5}}{2\times 0,225\times 0,105}$
$\rm \tau =1,692~MPa > 1,30~MPa$

$\rightarrow$ Il faut renforcer ls section de poutre au niveau de la zone d’appui, en augmentant soit la hauteur, soit la largeur, soit les deux. On pourra aussi choisir un madrier plus gros, par exemple un madrier de section $\rm 0,150 \times 0,250 = 0,0375~ m^2$ ($1,588$ fois la section précédente, ce qui ramène la contrainte de cisaillement à $\rm 1,07~MPa$. On voit que le prédimensionnement est plus généreux en section $(0,150 \times 0,300)$.

Vérification au déversement.
En général, il n’ y a pas lieu de le faire, car les poutres de plancher, de coffrage ou de voiles sont rigidifiées latéralement par le reste de l’ossature (poutres perpendiculaires, panneaux de plancher…).