Poutres en Té, en béton armé et sollicitées aux ELU

Deux situations :

• Fibre neutre dans la dalle de compression aux ELU ou aux ELS : poutre considérée comme rectangulaire pour la vérification aux contraintes.
• Fibre neutre hors dalle de compression aux ELU et ELS : tenir compte des caractéristiques géométriques réelles de la poutre.

Condition limite pour considérer la poutre comme rectangulaire.

$\lambda y_{u,\lim} = h_0 \Rightarrow y_{u,\lim} = \dfrac{h_0}{\lambda}$

$\alpha = \dfrac{1}{\lambda\eta}\left(\eta - \sqrt{\eta(\eta - 2\mu)}\right)$

$\mu = \dfrac{\mathrm M_u}{bd^2f_{cd}}$ et $y_u = \alpha d$

Il suffit de comparer $y_u$ avec $y_{u,\lim}$

Si $y_u > y_{u, \lim} \Rightarrow$ il faudra calculer $\mathrm M_{u\rm R}$ avec le critère de poutre en Té en superposant les effets de la zone de béton rectangulaire de largeur $b_0$ et de hauteur $y_u$ avec le reste des ailes de largeur cumulée $b-b_0$ et de hauteur $h_0.$

Le moment résistant du béton comprimé s’écrit, en faisant $y_u=y_{u, \lim}$ :

$\mathrm M_{u\rm R} = (\lambda y_u \times b_0) \times \eta f_{cd} \times \left(d - \dfrac{\lambda y_u}{2}\right)$ $+$ $(b - b_0) \times \left(d - \dfrac{h_0}{2}\right) \times \eta f_{cd}$

Pour la suite, le dimensionnement des aciers tendus et comprimés se traitent de la même façon que pour une poutre rectangulaire de largeur $b$, car on ne tient pas compte du béton tendu. La largeur $b$ ou $b_o$ n’a donc pas d’importance.

Exemple : La poutre en Té a l’allure de la figure précédente, avec les dimensions et caractéristiques suivantes (extrait de la note de calcul, les renseignements serviront aussi pour les ELS).

Hauteur utile : $d=h−c = 1,25−0,146$ $\rm =1,104~m$

$f_{ck} > \rm 50~MPa$ $\Rightarrow \lambda =0,8 − (f_{ck} − 50) \times \dfrac{1}{400}$ $ = 0,775$ et $\eta = 1 − (f_ck − 50) \times \dfrac{1}{200} =0,95$

$\left(\begin{array}{cc} \varepsilon_{cu^2} = 2,9‰\\ \varepsilon_{yd} = 2,17‰\end{array}\right)$ $\Rightarrow \alpha_{\rm R} = \dfrac{2,9}{2,9 + 2,17} = 0,572$ $\Rightarrow \mu_{\rm R} = \lambda \alpha_{\rm R}\eta\left(1 - \dfrac{\lambda\alpha_{\rm R}}{2}\right) = 0,327$

$f_{cd} = \alpha_{cc}\dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} = \dfrac{1\times 60}{1,5} = \rm 40~MPa$ et $f_{yd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{500}{1,15} = \rm 434,78~MPa$

Position de la fibre neutre pour la poutre en Té dans le cas où la fibre neutre est dans la soffite et en dessous des ailes du Té.

Si la section des aciers est connue et si les aciers travaillent au maximum admissible $f_{yd}$, on peut en déduire la position de la fibre neutre. Sinon, on utilise la première méthode indiquée dans le cours pour voir s’il y a nécessité de placer des aciers comprimés.

$\alpha = \dfrac{1}{\lambda \eta}\left(eta - \sqrt{\eta(\eta - 2\mu)}\right)$ mais approximation avec dans ce cas :

$\mu = \dfrac{\mathrm M_u}{bd^2f_{cd}}$ si $y \leq h_0/\lambda$ et $\mu \dfrac{\mathrm M_u}{b_0d^2f_{cd}}$ si $y > h_0 / \lambda$ en négligeant les ailes du Té.

Dans le cas où il n’y a pas d’acier comprimé, alors :

$\mathrm M_u = \lambda y b_0 \eta f_{cd}\left(d - \lambda \dfrac{y}{2}\right)$ $+$ $\lambda (b - b_0)h_0 \eta f_{cd} \left(d - \dfrac{h_0}{2}\right)$

On simplifie par $\lambda$, $\eta$ et $f_{cd}$, et après arrangement pour obtenir un polynôme du second degré, il vient :

$y^2 - 2 \dfrac{d}{\lambda} \times y - 2 (b - b_0)\dfrac{h_0}{\lambda b_0}\left(d - \dfrac{h_0}{2}\right)$ $+$ $\dfrac{2\mathrm M_u}{\lambda^2\eta b_0f_{cd}} = 0$ $\Rightarrow \rm A.N. \Rightarrow y^2 - 2,849y - 0,948$ $+$ $0,2191~\mathrm M_u = 0$

$y^2 - 2,849y - 0,948 - 1,567 = 0$ $\Rightarrow y =\rm 0,237~m$

La fibre neutre est dans la dalle comprimée $(h_0 = 0,25~\rm m)$ donc la poutre en Té fonctionne comme une poutre rectangulaire.

$y = \alpha d \Rightarrow \alpha = \dfrac{y}{d} = 0,215$ $\Rightarrow \mu = \dfrac{\mathrm M_u}{bd^2f_{cd}} = \lambda \alpha \eta \left(1 - \dfrac{\lambda\alpha}{2}\right)$ $= 0,146 < \mu_{\rm R} = 0,327 \Rightarrow \mathrm A'_s =0$ au sens RDM.

$\mathrm A_s = \dfrac{\mathrm M_u}{f_{yd}d\left(1-\lambda\frac{\alpha}{2}\right)}$ $= \dfrac{7,15}{434,78 \times 1,104 \left(1 - \frac{0,775 \times 0,125}{2}\right)}$ $\rm 0,0165~m^2 = 163~cm^2$

Solution améliorée : $\rm \rightarrow 3 \times \text{4 HA 40 + 1} \times 4 ~HA~32$ $\rm (4^{ème} \text{ lit supérieur}) = 182,966~cm^2$