Suites numériques

Définition

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors $u_{n + 1} = u_n \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.

Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\frac{u_{n + 1}}{u_n}$ et on obtient un réel $q$.

 Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

 Monotonie d'une suite géométrique 

Si $u_0$ et $q$ sont strictement positifs :

- si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante ;

- si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement décroissante ;

- si $q =1$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$,

$S = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1}$ $= u_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}$.

Convergence d'une suite

Lorsqu’on étudie la limite de $u_n$ quand n tend vers $+\infty$, on a deux cas possibles : - si la limite est finie, alors $(u_n)$ converge ; - si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $(u_n)$ diverge.

Etude de la limite

Pour étudier la limite, on peut : 

- Utiliser les théorèmes sur les limites de fonctions : si $\lim_{x\to +\infty} f(x) = l$, alors la suite $u$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ = $f(n)$ converge vers $l$ ($l$ peut être un nombre réel ou l’infini). 

- Utiliser les théorèmes de comparaison : si $\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$, et si $u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $\lim_{n\to +\infty} v_n = +\infty$. si $\lim_{n\to +\infty} v_n = -\infty$, et si $u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $\lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty$. 

- Encadrer la suite par deux suites qui ont la même limite (théorème des gendarmes) : si $u_n \leq v_n \leq w_n$ à partir d’un certain rang et si $\lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} w_n = l$, alors $\lim_{n\to +\infty} v_n = l$ ($l$ peut être un nombre réel ou l’infini).