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Probabilités 2

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Probabilités 2

Loi exponentielle

La fonction de densité f d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ>0 est définie par f(x)=λeλx sur l'intervalle [0;+[.

Pour tout t>0, la probabilité de l'événement (Xt) est donnée par P(Xt)=t0λeλxdx.

L'espérance de cette variable aléatoire X est E(X)=1λ, sa variance V(X)=1λ2 et son écart-type σ=1λ.

Loi de Poisson

Pour Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, on a :

P(Y=k)=λkk!eλ pour tout k entier naturel.

L'espérance de cette variable aléatoire Y est E(Y)=λ, sa variance V(Y)=λ et son écart-type σ=λ.

Exemples de processus aléatoires

Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel :
$\bullet$ les sommets du graphe représentent les différents états possibles du système
$\bullet$ les poids (ou étiquettes) des arêtes correspondent aux probabilités de passage (c’est-à-dire de transition) d’un état à l’autre
$\bullet$ la somme des poids des arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

Dans une matrice de transition, $M$ est associée à un graphe probabiliste d’ordre $n$ (dont les sommets sont numérotés de 1 à $n$). Chaque coefficient $m_{ij}$ correspond à la probabilité de passage de l’état $i$ à l’état $j$.
Soit $P_0$ la matrice ligne décrivant l’état initial du système et $P_n$ la matrice ligne décrivant l’état probabiliste à l’étape $n$.
On a : $P_{n+1}=P_n\times M$ donc $P_n=P_0\times M^n$.
Un état $P$ sera dit état stable du système si $PM=P$.

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