Vérification des poutres en Té, en béton armé et sollicitées aux ELS

Équation des moments statiques permettant de trouver la position de la fibre neutre $\rm y_1$.

$\dfrac{b_0y^2_1}{2} + (b−b_0) h_0\left(y_1−\dfrac{h_0}{2}\right)$ $+$ $n\mathrm A'_s (y_1−c')− n \mathrm A_s (d−y_1)=0$ avec $\begin{array}{ll} y_1\leq h_0 & \Rightarrow & \text{poutre rectangulaire}\\ y_1 > h_0 & \Rightarrow & \text{poutre en Té}\end{array}$

Si la poutre fonctionne comme une poutre rectangulaire, alors :
$\rm I_1 = \dfrac{by^3_1}{3} + n \mathrm A'_s (y_1−c')^2 + n \mathrm A_s (d−y_1)^2$

Si la poutre fonctionne comme une poutre en Té, alors :
$\rm I_1 = \dfrac{by^3_1}{3} + (b−b_0) h_0 \left(y_1 − \dfrac{h_0}{2}\right)^2$ $+$ $(b−b_0) \dfrac{h_0^3}{12} + n \mathrm A'_s (y_1−c')^2 + n \mathrm A_s ( d−y_1)^2$

Le calcul des contraintes réelles dans le béton et les aciers se fait en adaptant les formule de la RDM classique :

$\sigma_c =  \dfrac{\rm M_s}{\rm I_1}y_1$
$\sigma'_s = n \dfrac{\rm M_s}{\rm I_1} (y_1 - c')$
$\sigma_s = n \dfrac{\rm M_s}{\rm I_1} (d−y_1)$

Lors de la réalisation de planchers avec soffites apparentes, les nervures ainsi formées se calculent comme des poutres en Té, avec une partie de la poutre incluse dans la dalle de compression du plancher. L’EC2 permet de définir la largeur maxi de la dalle de compression formant avec la soffite la poutre en Té.

$b_{\rm eff1} = \mathrm{min} [b_1 ~; 0,2 b_1 + 0,1 \rm L_0~ ; 0,2 L_0]$
$b_{\rm eff 2} = \mathrm{min} [ b_2~ ; 0,2b_2 + 0,1\rm L_0~ ; 0,2L_0]$
$b_{\rm eff} = b_w + b_{\rm eff 1} + b_{\rm eff 2}$

$\rm L_0$ étant la distance entre appuis
Exemple de vérification aux ELS d’une dalle nervurée composée de Tés.

En fonction du mode de comportement de la poutre dalle nervurée, l’équation des moments statiques s’écrira :

• Si $y_1\leq h_0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{by_1^2}{2} + n\mathrm A'_s (y_1−c')− n \mathrm A_s(d−y_1)=0$ $\Rightarrow$ $y_1=0,209~\rm m$ $\Rightarrow \text{ne convient pas}$.
• Si $y_1>h_0$ $\Rightarrow \dfrac{b_0 y_1^2}{2} + h_0 (b−b_0)\left(y1−\dfrac{h_0}{2}\right)$ $+$ $n\mathrm A'_s (y_1−c')−n\mathrm A_s(d− y_1)=0$ $\Rightarrow y_1=0,211~\rm m \Rightarrow \rm OK$

La poutre fonctionne comme une poutre en Té.
Moment quadratique de la section en Té homogénéisée :

$\mathrm I_1 = \dfrac{b_0y_1^3}{3} + (b−b_0)h_0 +\left(y_1−\dfrac{h_0}{2}\right)^2$ $+$ $(b−b_0) \dfrac{h_0^3}{12} + n \mathrm A'_s (y_1−c')^2 + n \mathrm A_s (d−y_1)^2$ $=0,048568~ \rm m^4$

Contraintes dans la poutre :

$\sigma_c = \dfrac{\rm M_S}{\rm I_1} y_1 = \dfrac{241}{0,048568} \times 0,211$ $=10,47~\mathrm{MPa} < 0,6f_{ck}$ $\rm =30~MPa \Rightarrow OK$

$\sigma'_s = \dfrac{\rm M_S}{\rm I_1} (y_1 - c')$ $= \dfrac{12,3\times 2,41}{0,048568} (0,211−0,039)$ $=105~\mathrm{MPa} \leq 0,8f_{ck}$ $\rm = 400~MPa \Rightarrow OK$

$\sigma_s = \dfrac{\rm M_S}{\rm I_1} (d-y_1)$ $= \dfrac{12,3\times 2,41}{0,048568} \times (0,691 - 0,211)$ $= 293~\mathrm{MPa} \leq 0,8f_{ck}$ $\rm =400~MPa \Rightarrow OK$

Vérification à la flèche :
Pour une charge uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre la flèche vaut (RDM) :

$\dfrac{5 pl^4}{384 \rm EI} = \dfrac{5 \mathrm Ml^2}{48 \rm EI} = \dfrac{\mathrm Ml^2}{9,6 \rm EI}$ avec $\rm E = E_{c,eff} = 16~259~MPa$ (calculé en même temps que $n$).

Le moment quadratique est calculé pour la section fissurée : $y_1=0,211\rm m$ et $\rm I_1 = 0,048568~m^4$
Comme la déformée commence avant que la poutre ne se fissure, il faut aussi les caractéristiques de la section non fissurée (tout le béton travaille).

Moment statique : $b_0h\left(\dfrac{h}{2} − y_1\right) + (b−b_0) h_0 \left(y_1−\dfrac{h_0}{2}\right)$ $+$ $n \mathrm A'_s (y_1 - c') - n\mathrm A_s (d - y_1) = 0$ $\Rightarrow y1=0,122~\rm m$

Moment quadratique : $\mathrm{I_{1 NF}} = \dfrac{b_0h^3}{12} + b_0h \left(\dfrac{h}{2} - y_1\right)^2$ $+$ $(b-b_0)h_0 \left(y-1 - \dfrac{h_0}{2}\right)^2$ $+$ $(b - b_0)\dfrac{h^3_0}{12} + n\mathrm A'_s (y_1 - c')^2 + n\mathrm A_s (d-y_1)^2$ $\rm = 0,070692~m^4$

Moment limite avant fissuration du béton. $f_{ct,\rm eff} = 4,1~\rm MPa$ (voir tableau du cours) $\rightarrow \sigma_{sr} = nf_{ct,\rm eff} = 12,3\times 4,1 = 50,43~\rm MPa$

$\mathrm{M_{CR}} = \dfrac{\rm I_{1NF}\sigma_s}{n (d-y_1)}$ $= \dfrac{0,070692 \times 50,43}{12,3 \times (0,692 - 0,122)}$ $= 0,509373~\rm m.MN$

La flèche de la poutre non fissurée vaut ; $\alpha | = \dfrac{\mathrm{M_{CR}}l^2}{9,6\mathrm E_{c,\rm eff}\rm I_{1NF}}$ $=\dfrac{0,509379 \times 10^2}{9,6 \times 16~259 \times 0,070692}$ $= \rm 0,00462~m = 0, 462~cm$

Après fissuration : $\alpha \| = \dfrac{\mathrm M_{se,qp}l^2}{9,6\mathrm E_{c, \rm eff}\rm I_1}$ $= \dfrac{1,9 \times 10^2}{9,6 \times 16~259 \times 0,048568}$ $\rm = 0,0251~m = 2,51~cm$

Évaluation des pondérations des deux flèches :

$\beta =0,5 \Rightarrow \zeta = 1−\beta \left(\dfrac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)$ $= 1 - 0,5 \times \left(\dfrac{50,43}{293}\right)^2 =0,985$ $\Rightarrow \alpha = \zeta \alpha\| +(1-\zeta)\alpha|$ $=\rm 0,0248~m = 2,48~cm$

Flèche admissible : $\dfrac{l}{500} = \dfrac{10}{500} = \rm 0,02~m = 2~cm$ $\rm \Rightarrow \alpha = 2,48 > 2~cm \Rightarrow$ la flèche admissible n' est pas respectée.

Solutions envisageables :

• Augmenter les sections d’acier. Problème, il y en a déjà beaucoup pour la place disponible en zone tendue.
• Augmenter la hauteur de la poutre, afin d’augmenter le moment quadratique. Il faut l’accord de l’architecte et respecter la hauteur sous plafond disponible.
• Faire une contre-flèche par précontrainte ou par la forme initiale du coffrage. Mais attention à l’ouverture des fissures. La vérification se fait de la même manière que pour une poutre de section rectangulaire.